conjuntos

El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como:1,3, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema mas primitivo – tal como el conjunto de los númerosnaturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales.

En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades puedendeducirse.

En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo mas a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a undesarrollo axiomático del mismo.

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1.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.2.2. Conjunto de los números enteros.
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta asi:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 =1, cuya solución es x = -2.


Puede notarse que N ÌZ.


1.2.3. Conjunto de los números racionales.

El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera:

Q = / m, n son enteros y n

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación:

ax = b, con a, bÎ R, a ¹ 0.

Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a es un divisor de b.

Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que:
Z Ì Q.


En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero.

1.2.4. Conjunto de losnúmeros irracionales.

En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2.Puede demostrarse fácilmente, que no existe X ÎQ que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a ÎQ y n ÎN, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describrir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan solución.

El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituidopor los números reales que no admiten la representación racional.

Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), p , , etc.

En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x = , que no son números racionales.

1.2.5. Finalmente se define elConjunto R de los números reales como: R =Q È Q*.

En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo).


1.2.5.1. Axiomas de campo

A.C.1. Uniforme

Si se suman entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único.
Si se...