Conjuntos

2. Conjuntos

Consideraremos como conceptos primitivos (no definidos) los de conjunto, elemento u
objeto y pertenencia.
Generalmente designaremos a los conjuntos con letras mayúsculas, y a los elementos que lo
forman, con letras minúsculas.
Para indicar que un elemento a pertenece a un conjunto A escribiremos: a  A. Si a no
pertenece a A, escribiremos a  A.

Ejemplo: En este curso, indicaremoscon N, Z, Q, R y C los conjuntos de números naturales,
enteros, racionales, reales y complejos, respectivamente.
Se tiene: 1  N,

1
 N, 0  Z, – 7  N, 9  N,
2

2  R,

2  Q,

 1  R, 1 + i  C.

Un conjunto está bien definido, o bien determinado, cuando podemos precisar cuáles son
sus elementos. Una forma de hacerlo es por EXTENSIÓN nombrando uno a uno todos los objetos
que lo componen yencerrando esta lista entre llaves. Por ejemplo, si el conjunto A está formado por
los elementos 1, 2, 3 y 4 podemos describir este conjunto escribiendo:
A = 1, 2, 3, 4  .
El orden en que escribimos los elementos es irrelevante, ya que un conjunto está
completamente determinado por los objetos que lo componen. En consecuencia:

1, 2, 3, 4 

=

 2, 1, 3, 4  =  2, 1, 4, 3  = ...
Este método dedescribir un conjunto puede ser poco práctico o imposible en algunos casos,
y deberemos usar otras formas de notación. Por ejemplo,

1, 2, 3, ... , 99, 100 

describe el

conjunto de todos los números enteros positivos menores o iguales que 100.
Otras veces, para definir un conjunto lo hacemos por COMPRENSIÓN indicando una
propiedad común a todos sus elementos y tal que sólo sus elementos latengan. Así por ejemplo,
los elementos del conjunto A = 1, 2, 3, 4  pueden ser caracterizados como aquellos elementos x
que cumplen la propiedad: x  N y x < 5. Escribimos entonces:
A={x:xN y x<5}
Ejemplos
1. A = { x : x  R y x > 0 } es el conjunto de los números reales positivos.

1

2. El conjunto de los números enteros pares puede escribirse B = { x : x  Z

y

x es

divisible por 2 }.También podemos escribir B = { x : x  Z y x = 2 k, k  Z }.
3. C = { x : x  Z , x = 2 k + 1, k  Z } es el conjunto de los números enteros impares.
4. El conjunto D = { x : x  N , x = 2 k con k  N, x es múltiplo de 7, x  42 } tiene por
elementos los números 14, 28 y 42.

Inclusión
Definición: Dados dos conjuntos A y B, se dice que A está incluido en B, o que A es un parte de B,
o que A es unsubconjunto de B, o que B contiene a A, si todo elemento de A pertenece a B. Se
escribe A  B o B  A.
A  B  para todo x: x  A  x  B.

B
A

Nota: los dibujos que hemos utilizado para representar a los conjuntos A y B reciben el nombre de
diagramas de Venn.
Definición Se dice que el conjunto A es igual al conjunto B, si A  B y B  A. Lo indicamos A = B
Luego A = B cuando todo elemento de A es unelemento de B y todo elemento de B es
elemento de A, es decir A y B tienen los mismos elementos.
Por razones de conveniencia, introducimos un conjunto que carece de elementos, llamado el
conjunto vacío. Lo simbolizamos  y puede definirse por cualquier propiedad que no sea verificada
por ningún objeto. Por ejemplo, podríamos definir
 = { x : x  x } = { x : x  R, x2 < 0 } = { x : x  N, 7 < x < 8}
Ejemplos.
1. Veamos que los conjuntos A = { x : x  R, x > 2 } y B = { x : x  R, 3 x – 4 > 2 } son
iguales. Un procedimiento consiste en tomar un elemento cualquiera x  A y probar que x  B, y
recíprocamente, probar que todo elemento x  B verifica x  A.
En este caso, sea x  A. Entonces x  R y x > 2, lo que implica 3 x > 6, y de aquí se
deduce 3 x – 4 > 2. Por lo tanto x  B.
Recíprocamente,sea x  B. Entonces x  R y 3 x – 4 > 2, de donde resulta 3 x > 6, o sea,
x > 2. Luego x  A.
Se ha probado entonces que A = B.

2

2. Sea A el conjunto de los números naturales pares y sea B el conjunto de los números
naturales cuyo cuadrado es par. Veamos que A = B.
En efecto, probemos en primer lugar que A  B. Sea x  A ; entonces existe k  N tal que
x = 2 k. Luego x2 = (2 k)2 = 2(2 k2);...