Continuidad en funciones

Páginas: 5 (1107 palabras) Publicado: 16 de junio de 2014
Cuando se empezó a desarrollar el cálculo infinitesimal, la mayor parte de las
funciones analizadas eran continuas y, por lo tanto, no era necesario definir
exactamente qué se entendía por función continua.
Pero a mediados del
siglo XVIII se
presentaron algunas
funciones discontinuas
relacionadas con
problemas de física,
sobre todo en los
trabajos de J. Fourier
sobre la teoría delcalor.

Augustin
Louis Cauchy
(Francia, 1789-1857)

Joseph Fourier
(Francia, 1768-1830)

A veces se describe
intuitivamente una
función continua como
aquella cuya gráfica
puede dibujarse sin
levantar el lápiz del
papel. Aunque esta
definición es demasiado
optimista, resulta útil
para comenzar a
trabajar con gráficas.
Una definición rigurosa
de continuidad fue
formulada porprimera
vez en 1821 por el
matemático Augustin
Louis Cauchy.

138

Cauchy trabajó como ingeniero militar y en 1810
llegó a Cherburgo para apoyar a Napoleón en la invasión a
Inglaterra. En 1813 retornó a París y luego, persuadido por
Laplace y Lagrange, se convirtió en un devoto de las
matemáticas.
París era un lugar difícil para vivir, debido a los
eventos políticos relacionados con laRevolución Francesa.
En varias ocasiones, Cauchy dejó París para vivir algún
tiempo en Suiza. En Praga conoció a Bolzano.
Era un católico devoto y su actitud religiosa lo
enfrentó a lo largo de su vida con su posición académica y
con otros científicos.
Con Cauchy se precisaron los conceptos de función,
límite y continuidad, en la forma actual o casi actual,
tomando el concepto de límite comopunto de partida del
análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a
una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la
noción de correspondencia.
Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los
fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una
intuición geométrica que ha quedado eliminada.

GUSTAVO A. DUFFOUR

La suerte favorece
solo a la mentepreparada.

5
CONTINUIDAD
DE FUNCIONES

Isaac
Asimov
(Rusia,
1920-1992)

1 – INTRODUCCIÓN
En forma intuitiva se dice que una función es continua cuando se la puede dibujar sin
levantar el lápiz de la hoja. Pero este concepto solo se aplica a algunas funciones
elementales. Para funciones más complejas ello no es posible, y se habla, entonces, de
continuidad en un punto o en un intervalo,finito o infinito.

f(x)

1
1

x

Responder «verdadero»
o «falso», y justificar
la respuesta.
Una función es continua si:

Si se observa la representación gráfica de
la función f definida en los reales, es posible
afirmar que no es continua en x = 0

La mayoría de las funciones elementales
son continuas en su dominio. En la próxima
página se verá algo más sobre la relaciónentre
dominio y continuidad.

MATEMÁTICA DE SEXTO

i) Podemos levantar el
lápiz al dibujarla en su
dominio.
ii) Es a rayas.
iii) No podemos levantar el
lápiz al dibujarla en su
dominio.
iv) Está definida para todos
los puntos.
Véanse los resultados en la página 359.

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2 – DOMINIO Y CONTINUIDAD
La observación de las representaciones gráficas de las funciones f, g y h permitecontestar las siguientes preguntas.
¿Dominio de la función f?
D(f) =
Téngase en cuenta que f(0) = – 1

f(x)

1
1

x

¿f es continua en su dominio?
No, pues no es continua en x = 0 (hay que
levantar el lápiz para completar el dibujo)
¿f es continua en los números reales?
No, pues no es continua en x = 0 (hay que
levantar el lápiz para completar el dibujo).

¿Dominio de la funcióng?
D(g) = – {– 2}

g(x)

¿g es continua en su dominio?
Sí, pues x = – 2 no pertenece al dominio

1
1

x

¿g es continua en los números reales?
No, pues no está definida en todos los números
reales.

¿Dominio de la función h?
D(h) =
Téngase en cuenta que h(0) = 0

h(x)

1
1

x

¿h es continua en su dominio?
No, pues no es continua en x = 0 (hay que
levantar el lápiz...
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