Continuidad

CÁLCULO DIFERENCIAL

Amaury Camargo y Favián Arenas A.

Universidad de Córdoba
Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías
Departamento de Matemáticas

Cálculo Diferencial

UNIDAD 2
3.

Límite y Continuidad de funciones Reales

De nición .10 Escribimos
l m f (x) = L

x!a

y decimos ”el límite de f (x), cuando x tiende a a, es igual a L”
si podemos acercar arbitrariamente losvalores de f (x) a L(tanto como deseemos) escogiendo
una x lo bastante cerca de a, pero no igual a a.
En términos generales, esto a rma que los valores de f (x) se aproximan cada vez más al
número L cuando x se acerca a a(desde cualquiera de los dos lados de a), pero x 6= a. Una
notación alternativa es:
l m f (x) = L
x!a

f (x) ! L conforme x ! a

que suele leerse ”f (x) tiende a Lcuando x tiende a a”.
Advierta la frase ”pero x 6= a” en la de nición de límite. Esto signi ca que al hallar el límite de
f (x) cuando x tiende a a, nunca consideramos x = a. De hecho, incluso no es necesario que
f (x) esté de nida cuando x = a. Lo único que importa es cómo esta de nida f cerca de a.
x
x!1 x2

1
1

Ejemplo .7 Encuentre el valor de l m

y = f (x)
x 1
no está de nida cuandox = 1, pero
x2 1
eso no importa porque la de nición de l m f (x) dice que consideremos valores de x próximos
Solución: Note en la grá ca que la función f (x) =
x!a

a a pero diferentes de a. En las tablas de la izquierda se dan los valores de f (x)(correctos hasta

Arenas A.

23

Camargo B.

3.1

Límites laterales

Cálculo Diferencial

seis cifras decimales) para valores de xque tienden a 1(pero no son iguales a 1). Con base en
los valores de las tablas, conjeturamos que
x
x!1 x2
lm

1
= 0;5
1

El ejemplo 1 se ilustra mediante la grá ca de f de la gura 3. Cambiemos ahora ligeramente el
valor de f , dádole el valor de 2 cuando x = 1 y según la función resultante como g.
( x 1
si x 6= 1
g (x) =
x2 1
2
si x = 1
Esta nueva función g todavía tiene elmismo límite cuando x tiende a 1 (ver f ig:)

y = g(x)

3.1.

Límites laterales

En el ejemplo 6 hicimos ver que H (t) tiende a 0 cuando t lo hace a 0 desde la izquierda y que
esa función tiende a 1 cuando t lo hace a 0 desde la derecha. Indicamos simbólicamente esta
situación escribiendo
l m 0 H (t) = 0
y
l m H (t) = 1
+0
x!t

x!t

El símbolo ”t ! 0 ”indica que sóllo consideramosvalores de t menores que 0. Del mismo
modo, ”t ! 0+ ” indica que sólo consideramos valores de t mayores que 0.
De nición .11 Escribimos
l m f (x) = L

x!a

y decimos que el límite izquierdo de f (x) cuando x tiende a a (o el límite de f (x) cuando
x se acerca a a desde la izquierda) es igual a L, si podemos aproximar los valores de f (x) a
L tanto como queramos, escogiendo una x lobastante cerca de a pero pero menor que a.
Arenas A.

24

Camargo B.

3.1

Límites laterales

Cálculo Diferencial

Advierta que la de nición 2 di ere de la 1 sólo en que x debe ser menor que a. De manera
análoga, si requerimos que x sea mayor que a, obtenemos ”el límite por la derecha de f (x)
cuando x tiende a a es igual a L” y escribimos
l m f (x) = L

x!a+

Por lo tanto, elsímbolo ”x ! a+ ” signi ca que consideremos sólo x > a. en la gura
siguiente se ilustran estas de niciones.

Al comparar la de nición 1 con las de niciones de los límites laterales, vemos que se cumple
lo siguiente
l m f (x) = L

x!a

si sólo si

l m f (x) = L y

x!a+

l m f (x) = L

x!a

1
, si existe.
x!0 x2

Ejemplo .8 Encuentre l m

Y =

Arenas A.

25

1
x2

CamargoB.

3.1

Límites laterales

Cálculo Diferencial

1
Solución: Conforme x se aproxima a 0; x2 también se aproxima a 0 y x2 se hace muy grande.
1
(Ver grá co anterior.) De hecho, en la grá ca de la función f (x) = 2 , parece que los valores
x
de f (x) se puede aumentar arbitrariamente, si se escoge una x lo bastante cerca de 0. De este
1
modo, los valores de f (x) no tienden a un...