control de Cálculo I

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´
IA
´
CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIER´
IA.

Control 1 BAIN 037
Derivada de funciones impl´
ıcitas.Docente: Sebasti´n Valenzuela F.
a

Determine, si existen, los valores de a, b ∈ R para que la recta tangente a la curva
a · y 2 + b · sin(xy) = ex + 8
en x = 0 sea la recta de ecuaci´n y = −x + 3.o
Hint: sin(0) = 0 y e0 = cos(0) = 1.
Soluci´n: notemos que para la recta y = −x + 3, su pendiente tiene valor −1 y pasa por el punto
o
P (0, 3).
Para que el punto P (0, 3) pertenezca a la curva,se debe cumplir:
a · 32 + b · sin(0 · 3)

=

e0 + 8

9a + b · sin(0)

=

1+8

9a + 0

=

9

de donde obtenemos a = 1.
Sustituyendo lo anterior y derivando impl´
ıcitamente nosqueda:
d
dx

1 · y 2 + b · sin(xy)

=

ex + 8

2y · y + b · cos(xy) · (y + xy )

=

ex + 0
ex − b · y · cos(xy)
2y + b · x · cos(xy)

y

=

Como queremos que la ecuaci´n de larecta tangente a la curva en P (0, 3) sea la recta y = −x + 3
o
nos queda resolver:
dy
(0, 3)
dx

=

−1

e0 − b · 3 · cos(0 · 3)
2 · 3 + b · 0 · cos(0 · 3)
1 − 3 · b · cos(0)
6 + b · 0 ·cos(0)

7
.
3

= −1

1 − 3b
6
de donde obtenemos que b =

= −1

= −1

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´
IA
´
CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICASPARA INGENIER´
IA.

Control 1 BAIN 037
Derivada de funciones impl´
ıcitas.
Docente: Sebasti´n Valenzuela F.
a

Determine, si existen, los valores de a, b ∈ R para que la recta tangente a lacurva
x2 · y + a · ln(3x + 1) = b · cos(x) + y 3
en x = 0 sea la recta de ecuaci´n y = −2.
o
Hint: sin(0) = ln(1) = 0 y cos(0) = 1.
Soluci´n: notemos que para la recta y = −2, su pendiente tienevalor 0 y pasa por el punto
o
P (0, −2).
Para que el punto P (0, −2) pertenezca a la curva, se debe cumplir:
02 · (−2) + a · ln(3 · 0 + 1)
0 + a · ln(1)
0

=

b · cos(0) + (−2)3

= b ·...