Control Digital

Anexos:
Respuesta a las Perturbaciones
Planta
Gs=ωo2s2+ωo2 en donde ωo=1

Función de transferencia de un péndulo linealizado (oscilador armónico)
1) Demostrar que la función detransferencia esta dada por la expresión:

Gz=1-βz+1z2-2βz+1 en donde β=CosωoT
Demostración matemática:
Gz=1-z-1*zGss
Remplazando la función de transferencia:
Gz=1-z-1*zωo2s3+ωo2sGz=1-z-1*z1s-ss2+ωo2
Como:
z1s=z-1z zss2+ωo2=zz-CosωoTz2-2*z*CosωoT+1
Remplazando:
Gz=z-1z*zz-1-z(z-Cos(ωoT)z2-2*z*CosωoT+1
Asumiendo
β=CosωoT
Finalmente:Gz=z*-2β+β+1+1-βz2-2βz+1=z1-β+1-βz2-2βz+1
Gz=1-βz+1z2-2βz+1

Mediante Matlab:
Programa | Resultado |
wo=1;T=0.2;B=cos(wo*T);gs=tf([wo^2],[1 0 wo^2]);gz=c2d(gs,T); | |

2. Diseñar un controlador discreto de la forma:Gcz=s0*z2+s1*z+s2z-1(z-r)

Especificaciones: ωn=1.5 rad/seg, ωo=3rad/seg, ε=0.7
El código utilizado en matlab para encontrar las matrices de la Solución Diofantina y asi los valores de S0, s1, s2,r.

Programa:
E=0.7;
x=1-E^2;
w1=1.5;
w2=3;
s1=-E*w1+i*(w1*[x^(1/2)]);
s2=-E*w1-i*w1*(x)^(1/2);
s3=-E*w2+i*w2*(x)^(1/2);
s4=-E*w2-i*w2*(x)^(1/2);
z1=exp(s1*T);
z2=exp(s2*T);
z3=exp(s3*T);z4=exp(s4*T);
pd=[z1 z2 z3 z4]; %especificacion de los polos
ec=poly(pd);
P=[1-B 0 0 1;1-B 1-B 0 -2*B-1;0 1-B 1-B 2*B+1;0 0 1-B -1];
D=[ec(2)+2*B+1;ec(3)-2*B-1;ec(4)+1;ec(5)];
C=inv(P)*D;s0=C(1);
s1=C(2);
s2=C(3);
r=C(4);
gc=tf([s0 s1 s2],[1 r-1 -r],T);

Función de transferencia:

Mediante el comando de matlab:
step(feedback(gc*gz,1));

Verificamos la salida de la planta yel controlador:

Verificando en simulink:

Fig. Planta – Controlador
Salida:

Salida del controlador:

Además, para eliminar los efectos de los polos del observador, se utiliza unaesquematización diferente del diagrama Planta-Controlador. En este caso, para dos grados de libertad, en donde el esquema cambia a:

En donde los valores del Polinomio T, se obtienen de la siguiente...