Convergencia y Divergencia

1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES
(1.8_CvR_T_061, Revisión: 22-09-06, C8, C9, C10)

1.8.1.
INTRODUCCIÓN.
Forma general de una serie:
N

SN = ∑ an = a0 + a1 + a2 + ....+ aN → Suma de N términos.
n= 0

Si N es finito, la suma (SN) también es finita.
Problema fundamental: ¿Qué pasa cuando N → ∞?
Si SN tiene un valor finito cuando N → ∞, se dice que la serie converge.
N

Consideremos S N = ∑a n = 1 + a + a 2 + ... + a N → Serie geométrica
n =0

1 − a N +1
1
a N +1
=
−
1− a 1− a
1− a
n=0
∞
1
SN = ∑ a n =
, a <1
1− a
n=0
N

Forma cerrada: SN = ∑ a n =
Para N → ∞:

Prueba fundamental de convergencia:
Una serie converge a S si:
S − SN < ε , para N> N(ε) → TEOREMA DE CONVERGENCIA DE CAUCHY

SN→ suma de N términos, ε → número positivo arbitrariamente pequeño
Para la serie geométrica:
⎛ 11
a N +1 ⎞
<ε
S − SN = ⎜
−
+
⎝ 1 − a 1 − a 1 − a ⎟⎠
Ln (ε (1 − a))
a N +1
→ N(ε ) ⇒
< ε → a N +1 < ε (1 − a) → N =
−1
1− a
Ln(a)
N > N (ε ) =

1.8.2.

Lnε (1 − a)
− 1 ⇒ Siempre que a < 1 podemos encontrar un valor de N que
Ln(a)
satisfaga este criterio y la serie converge.

PRUEBAS DE CONVERGENCIA.
∞

Utilicemos la serie genérica dada por: S = ∑ an
n =1

55

Prueba de comparación.
Dada una serieconvergente con términos bn, an converge si an ≤ bn, ∀n. Si la serie con
términos bn diverge y an > bn, entonces an también diverge. Sin embargo, si bn converge y
an > bn, esta prueba no determina si an es divergente; similarmente, si bn diverge y an < bn,
an puede o no ser divergente.
Ejemplo 1:
∞
1
1 1 1 1
1
1
1 1
= 1+ + + + + +
+ + + .....
∑
2
4 9 16 25 36 49 64 81
n =1 n
2términos

4 términos8 términos

Podemos acotar cada suma parcial notando que:

1 1 1 1 1
+ < + =
4 9 4 4 2
1
1
1
4
1
+
+
+
<
=
16 25 36 49 16
1
1
1
8
+ + ... + 2 <
=
64 81
15
64

⎫
⎪
⎪
n
∞
∞
1
1⎪
1 1 1
⎛ 1⎞
⎬ ⇒ ∑ < 1 + + + + ..... = ∑ ⎜⎝ ⎟⎠ → SERIE GEOMETRICA
4 ⎪ n =1 n 2
2 4 8
n=0 2
1⎪
8 ⎪⎭
n
∞
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
∴ ⎜ 2 ⎟ < ⎜ ⎟ ⇒ ∑ ⎜ 2 ⎟ es convergente
⎝ n ⎠ ⎝ 2⎠
⎝ ⎠
n =1 n

Ejemplo 2:
∞
∞
1
1 1 1 1
⎛ 1⎞ 1 1
=
1
+
+
++
+
....
Comparada
con:
∑n
∑
⎜⎝ ⎟⎠ = + + .... → Serie divergente
2 3 4 5
2 2
n =1
n =1 2

1 1 2 1
+ > =
3 4 4 2
1 1 1 1 4
+ + + > =
5 6 7 8 8
→

⎫
∞
∞
⎪⎪
1 1
1
⎛ 1⎞
>
1
+
+
+
...
>
⇒
⎬ ∑
∑
⎜⎝ ⎟⎠ ∴ la serie diverge
1 ⎪ n =1 n
2 2
n =1 2
2 ⎪⎭

Prueba de la razón.
an +1
<1
n →∞ a
n
Si r>1 la serie diverge, y si r =1 el criterio no es suficiente para decidir; sin embargo, si
para r =1 podemos demostrarque:

La serie genérica converge si: r = lim

⎧r ′ > 1 convergente
an +1
r′
⎪
: 1 − ⇒ ⎨r ′ < 1 divergente
an
n
⎪r ′ = 1 la prueba no decide
⎩

56

Ejemplos:
⎛ n + 1 3n ⎞
n
⎛ 1 n +1⎞ 1
a) ∑ n r = lim ⎜ n +1 ⋅ ⎟ = lim ⎜
⎟ = <1
n
n
→∞
→∞
n⎠
⎝3 n ⎠ 3
n =1 3
⎝3
∴ la serie es convergente
∞

∞

b)

⎛ n ⎞

1

∑ n → r = lim ⎜⎝ n + 1 ⎟⎠ = 1 →
n →∞

n =1

∞

c) Serie-p:

1

∑n
n =1

p

el criterio nodecide

= ζ ( p) = FUNCION ZETA DE RIEMANN

⎛a ⎞
⎛ np
r = lim ⎜ n +1 ⎟ = lim ⎜
p
n →∞
⎝ an ⎠ n→∞ ⎝ (n + 1)

⎞
⎛ 1⎞
⎟ = lim
⎜1 + ⎟
⎠ n→∞ ⎝ n ⎠

−p

= 1 → no hay decisión.

Expandiendo en una serie de Taylor en x0 = 0
x2
x2
−p
(1 + x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) + .... = 1 − px + p( p − 1) + ....
2!
2!
2
p
⎛ 1 ⎞ p( p − 1) ⎛ 1 ⎞
→ (1 + x)− p = 1 − p ⎜ ⎟ +
+ .... ≈ 1 −
⎜
⎟
⎝ n⎠
2! ⎝ n ⎠
n

p > 1 → serieconvergente
p < 1 → serie divergente
p =1
no hay decisión
∞

⎛ cos n ⎞
d) ∑ ⎜
⎟⎠
⎝
n =1 2n − 1

2

2

1
⎛ 1 ⎞
= 2
cos n < 1 ∀n ⇒ an < ⎜
⎟
⎝ 2n − 1⎠
x
⎛ 1⎞
∴ an = O ⎜ 2 ⎟ ⇒
la serie es convergente por comparación con una serie p (p=2).
⎝n ⎠
2

Prueba de la integral.
∞

∑ f (n) con f disminuyendo monotónicamente converge o diverge si
diverge cuando L→ ∞.

57

L

∫ f ( x)dx converge o

Área derectángulos
∞
lim L
∼ ∑ f (n) <
f (x)dx
L → ∞ ∫1
2

f

∴ si

1

2

n, x

3

f

∫

∞

1

f (x)dx converge ⇒ serie converge

∞

∞

1

1

∑ f (n)dx > ∫ f ( x)dx
∞

Si ∫ f (x)dx no converge ⇒ la serie no converge
1

1

2

n, x

3

Nótese que es irrelevante el límite inferior de
la integral, lo que importa es el límite cuando
L→∞

Ejemplos:
∞
L dx
1
a) ∑ diverge pues lim ∫
= lim Ln( L) → ∞
L →∞
x L →∞
1 n...