Coordenadas Cilindricas

1

Ecuaciones del movimiento de un fluido

Forma fundamental
El tensor de tensiones
Relaci´
on constitutiva para un fluido Newtoniano
La ecuaci´
on de Navier-Stokes
El tensor de tensiones para flujos incompresibles
Condiciones de contorno

2

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cartesianas (flujo incompresible)
Ecuaciones del movimiento en coordenadas cil´ındricas (flujo incompresible)Ecuaciones del movimiento en coordenadas esf´ericas (flujo incompresible)
Ecuaci´
on de la vorticidad
Vorticidad y circulaci´
on

3

Forma fundamental
El cambio de momento dentro de un volumen V , rodeado por una
superficie S depende de:
Flujo de momento:
−

ρviv · dS.
S

Suma de fuerzas actuando en el interior de V :
ρFidV.
V

Suma de fuerzas actuando sobre S:
σij dSj .
S

4

Por lo tanto, lasecuaciones del movimiento son
d
dt

ρvidV = −
V

ρviv · dS +
S

ρFidV +
V

σij dSj .
S

Usando el teorema de la divergencia y notando que
ρviv · dS = ρvivj dSj .
obtenemos

V

∂
∂
∂
(ρvi) +
(ρvivj ) − ρFi −
σij dV = 0,
∂t
∂xj
∂xj

donde hemos tenido en cuenta que V es independiente del tiempo. Como

5

V es arbitrario
∂
∂
∂
(ρvi) +
(ρvivj ) − ρFi −
σij .
∂t
∂xj
∂xj
Usando la ecuaci´
on decontinuidad
∂ρ ∂(ρvj )
+
=0
∂t
∂xj
obtenemos
ρ

∂vi
∂vi
∂σij
+ ρvj
= ρFi +
.
∂t
∂xj
∂xj

6

El tensor de tensiones
El tensor de tensiones ha de ser sim´etrico, σij = σji.
Las componentes i = j son las tensiones normales.
Las componentes i = j son las tensiones tangenciales (o de cizalla).
En un fluido en reposo el tensor de tensiones es isotr´
opico, σij = −pδij ,
p es la presi´
on hidrost´atica.
En unfluido en movimiento, podemos separar σij en una parte isotr´
opica
y otra no isotr´
opica
1
1
σij = σkk δij + (σij − σkk δij ).
3
3

7

definimos la presi´
on mec´anica (en general distinta de la presi´
on termodin´amica) como P = − 13 σii y escribimos
σij = −P δij + sij ,
donde la parte no isotr´
opica sij se debe al movimiento del fluido.

8

Relaci´
on constitutiva para un fluido newtonianoFluido isotr´
opico.
El tensor de tensiones depende linealmente del tensor velocidad de
deformaci´
on, eij = 12 (∂vi/∂xj + ∂vj /∂xi).
1
σij = −(p − Kekk )δij + 2µ(eij − ekk δij )
3
donde p = P + Kekk es la presi´
on termodin´amica.

9

La ecuaci´
on de Navier-Stokes
En la ecuaci´
on del movimiento
Dvi
∂σij
ρ
= ρFi +
.
Dt
∂xj
Substituimos la expresi´
on del tensor de tensiones teniendo en cuenta que1
eij = (∂vi/∂xj + ∂vj /∂xi),
2
ekk = ∂vk /∂xk = ∇ · v.
La ecuaci´
on completa de Navier-Stokes es

10

Dvi
∂p
∂
ρ
= ρFi −
+
Dt
∂xj ∂xj

∂vi
∂vj
µ
+µ
∂xj
∂xi

∂
+
∂xj

2 ∂vk
(K − µ)
3 ∂xk

despreciando las peque˜
nas variaciones de µ y K con la posici´
on (debidas
sobre todo a cambios de temperatura), podemos escribir
ρ

Dv
1
= ρF − ∇p + µ∇2v + (K + µ)∇∇ · v
Dt
3

Flujo incompresible, ∇ · v = 0(l´ıquidos y gases),
ρ

Dv
= ρF − ∇p + µ∇2v
Dt

11

Flujo no viscoso µ = K = 0,
Dv
ρ
= ρF − ∇p
Dt

12

El tensor de tensiones para flujos incompresibles
Como ekk = ∇ · v = 0,
σij = −pδij + µ(∂vi/∂xj + ∂vj /∂xi)

13

Condiciones de contorno
Contorno r´ıgido: velocidad del contorno y fluido iguales.
Contorno flexible: velocidad y tensiones del contorno y fluido iguales.
Condiciones de contornoasint´
oticas.
Condiciones de contorno en la presi´
on.

14

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cartesianas
(flujo incompresible)
∂vx
1 ∂p
+ (v · ∇)vx = −
+ ν∆vx
∂t
ρ ∂x
∂vy
1 ∂p
+ (v · ∇)vy = −
+ ν∆vy
∂t
ρ ∂y
∂vz
1 ∂p
+ (v · ∇)vz = −
+ ν∆vz
∂t
ρ ∂z
donde

∂f
∂f
∂f
+ vy
+ vz
∂x
∂y
∂z
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
∆f =
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z

(v · ∇)f = vx

15

La ecuaci´
on de continuidad es
∂vx ∂vy ∂vz
+
+
=0
∂x∂y
∂z
El tensor de tensiones tiene la forma
σik

∂vi ∂vk
= −pδik + η
+
∂xk ∂xi

16

Ecuaciones del movimiento en coordenadas cil´ındricas
(flujo incompresible)
vφ2
∂vr
1 ∂p
2 ∂vφ vr
+ (v · ∇)vr −
=−
+ ν ∆vr − 2
− 2
∂t
r
ρ ∂r
r ∂φ
r
∂vφ
vr vφ
1 ∂p
2 ∂vr vφ
+ (v · ∇)vφ +
=−
+ ν ∆vφ + 2
− 2
∂t
r
ρr ∂φ
r ∂φ
r
∂vz
1 ∂p
+ (v · ∇)vz = −
+ ν∆vz
∂t
ρ ∂z
donde

∂f vφ ∂f
∂f
(v · ∇)f = vr
+
+ vz
∂r
r ∂φ...