Coordenadas Esfericas

COORDENADAS

En R un conjunto abierto es la uni´n de intervalos abiertos. Tanto el concepto o de conjunto abierto como de intervalo abierto se generaliza en el plano y en el espacio. Un intervalo abierto en R se puede definir como (x0 − r, x0 + r) = {x ∈ R | x0 − r < x < x0 + r} = {x ∈ R | |x − x0 | < r} En otras palabras, se puede definir como el conjunto de puntos cuya distancia al centro x0 esmenor que r. En general se tiene: Definici´n.- Una bola en Rn de centro x0 ∈ Rn y radio r > 0, es el conjunto o B(x0 , r) = {x ∈ Rn | ||x − x0 || < r}

Ejemplo.- En el plano, una bola es una circunferencia

En el espacio, es una esfera. Definici´n.- Un conjunto A ⊂ Rn se dice abierto si para todo punto a ∈ A o existe un radio r > 0 tal que la bola centrada en a y de radio r est´ contenida a enA B(a, r) ⊂ A Universidad Antonio de Nebrija 1 TFInversa TFImpl´ ıcita

Matem´ticas II a

Definici´n.- Una funci´n f : A ⊂ Rn −→ Rm con A abierto de Rn se dice de o o clase k, k ≥ 1, si existen todas las derivadas de orden k y son continuas en A. Se escribe f ∈ C k (A).

COORDENADAS EN R2
En R2 trabajaremos esencialmente con dos tipos de coordenadas: Coordenadas cartesianas x, y ∈ R
TCoordenadas polares r ∈ R>0 , θ ∈ [0, 2π)
T

• ¨¨ ¨ ¨ y T ¨¨ ¨¨ e2 ¨ ¨ E E •
0

p

e1

x

0

¨• r ¨¨ ¨ ¨¨ ¨¨ θ ¨ ¨ •

p

E

Cambio de coodenadas polares a coodenadas cartesianas: x = r cos θ y = r sen θ Cambio de coodenadas cartesianas a coodenadas polares: r = x2 + y 2 y tan θ = , teniendo en cuenta el cuadrante del argumento. x

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2TFInversa TFImpl´ ıcita

Matem´ticas II a COORDENADAS EN R3
En R3 trabajaremos esencialmente con tres tipos de coordenadas: Cartesianas x, y, z ∈ R
T

T • ¨¨ ¨¨ z E 0¨ E e1   e2 ©   x     y ©  
e3

p

Cil´ ındricas r ∈ R>0 , θ ∈ [0, 2π), z∈R
T

Esf´ricas e ρ ∈ R>0 , θ ∈ [0, 2π), π π ϕ∈ − , 2 2
T

• ¨¨ ¨ ¨ z 0¨     θ r   ©  

p
E

¨ • ρ¨¨ ¨ ϕ 0¨     θ   ©  

p
E

Cambio decoodenadas cil´ ındricas a coodenadas cartesianas:   x = r cos θ y = r sen θ  z=z

Cambio de coodenadas cartesianas a coodenadas cil´ ındricas:   r = x2 + y 2  y tan θ = , teniendo en cuenta el cuadrante del argumento.  x  z=z 3

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TFInversa TFImpl´ ıcita

Matem´ticas II a
Cambio de coodenadas esf´ricas a coodenadas cartesianas: e   x = ρ cos θ cos ϕ y= ρ sen θ cos ϕ  z = ρ sen ϕ

Cambio de coodenadas cartesianas a coodenadas esf´ricas: e   ρ = x2 + y 2 + z 2   y  tan θ = , teniendo en cuenta el cuadrante del argumento. x z    tan ϕ = , teniendo en cuenta el cuadrante del argumento.  x2 + y 2

´ TEOREMA DE LA FUNCION INVERSA

Teorema de la funci´n inversa.- Sean f : A ⊂ Rn → Rn con A abierto de o n y a ∈ A verificando R 1. f ∈ Ck (A) 2. El jacobiano |Jf (a)| = 0 Entonces existen radios r1 , r2 > 0 tales que la funci´n o f : B(a, r1 ) ⊂ Rn → B(f (a), r2 ) ⊂ Rn tiene inversa f −1 : B(f (a), r2 ) ⊂ Rn → B(a, r1 ) ⊂ Rn de clase C k (B(f (a), r2 )) y adem´s en B(a, r1 ) se tiene a (J(f −1 )) = (Jf )−1 Ejemplo.- La exponencial f (x) = ex es de clase C ∞ (R) y su matriz jacobiana es Jf = (ex ). La exponencial nunca se anula,as´ que el jacobiano es no nulo en R, entonces por ı el Teorema de la Funci´n Inversa (TFInversa), existe f −1 definida localmente o en R (sobre una bola alrededor de cada punto). Observaci´n.- Si f ∈ C k (A) verifica el TFInversa en todo punto de A y f o es inyectiva, entonces f tiene inversa (global) en A de clase C k . A una inversa global tambi´n se le puede llamar cambio de variable. e Ejemplo.-La exponencial f (x) = ex tambi´n es inyectiva, por lo tanto existe e f −1 definida en todo R. De hecho, la inversa de la exponencial es el logaritmo neperiano: f −1 (x) = log x Universidad Antonio de Nebrija 4 TFInversa TFImpl´ ıcita

Matem´ticas II a

f x  e x

f  1x  log x

Adem´s, como (J(f −1 )) = (Jf )−1 y estamos trabajando con una funci´n real a o 1 −1 )′ (y) = 1 = ′ = 1 =...