criminalistica 2

París

PA S I O N E S D E L A U TO PÍ A

Wittgenstein y la filosofía de la matemática
Silvio Pinto

E

l interés del filósofo vienés Ludwig Wittgenstein (1889-1951) por la
naturaleza y los fundamentos de la matemática fue muy temprano
en él y se extendió a lo largo de toda su vida. Wittgenstein había

estudiado ingeniería en una escuela técnica de Berlín y realizó una estancia
deinvestigación en Manchester en 1908. Ahí se interesó por la aeronáutica y
más específicamente por el diseño de hélices. El estudio de la forma de las
hélices requería un tratamiento matemático complicado y pudo haber sido
esto lo que le llevó a profundizar sobre las teorías matemáticas relevantes
para su proyecto en aeronáutica y a preguntarse acerca de los propios
fundamentos de estasteorías.
A finales del siglo XVIII e inicios del XIX, y coin-

contrar una teoría más fundamental sobre la cual

cidentemente con el movimiento de rigorización

pudiera descansar la aritmética.

de la matemática, se podía notar una tendencia

Debemos al filósofo y matemático alemán

reduccionista en algunos matemáticos para encon-

Gottlob Frege (1848-1925) el primer gran inten-

trar lateoría más básica a partir de la cual toda la

to de buscar un fundamento más sólido para la

matemática podría ser generada. Un ejemplo de

aritmética de los números naturales. Según Frege,

tal tendencia en los siglos XVI y XVII fue el des-

tal fundamento sólo podría ser algo tan general y

cubrimiento de la geometría cartesiana. Con esta

tan seguro como la lógica. El programalogicista

nueva teoría es posible representar cualquier figu-

fregeano involucraba dos tesis: 1) los conceptos bá-

ra geométrica en términos de conjuntos de n-uplas

sicos de la aritmética (el cero, el número natural y

ordenadas de números reales. Como resultado del

el sucesor) deben ser definidos en términos de con-

movimiento reduccionista, la aritmética fue toma-

ceptosestrictamente lógicos; 2) las verdades más

da como el fundamento de toda la matemática. Pe-

básicas de la aritmética (los axiomas de Peano),

ro los matemáticos con inclinaciones filosóficas no

deben poder ser demostrados a partir de verdades

quedaron satisfechos con esto; era necesario en-

puramente lógicas y definiciones. El logicismo de

Departamento de Filosofía, UniversidadAutónoma Metropolitana, campus Iztapalapa
inventio

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Frege da sus primeros pasos con la publicación, en

La contradicción de Russell llevó a Frege a de-

el año de 1879, de la Conceptografía, y alcanza su

sistir del programa logicista pero tuvo un efecto

madurez entre 1893 y 1903 con la publicación de

opuesto sobre el mismo Russell. La contradicción

los dos primerosvolúmenes de las Leyes Básicas de

se deriva de la famosa ley V del sistema de las Le-

la Aritmética. Irónicamente, la consecución del

yes Básicas, la cual afirma que cualquier propiedad

logicismo fregeano coincide con el descubrimiento,

determina una clase. Por ejemplo, la propiedad de

por el filósofo inglés Bertrand Russell (1872-1970),

no pertenecerse a sí mismo determina una clase,de la contradicción que vino a fulminar el programa

la constituida por todas las cosas que no se perte-

fundacionista fregeano: la contradicción de la clase

necen a sí mismas. Si esta clase existe, entonces

de todas las clases que no se pertenecen a sí mismas.

tiene sentido preguntar si satisface la propiedad

1

2

Un ejemplo de una clase que se pertenece a sí

que ladefine.

misma es la clase de todas las clases. Normalmente

Russell se dedicó a la tarea de reconstruir el pro-

una clase no es un elemento de sí misma: la clase

grama logicista de manera consistente. Para evitar

de los planetas del sistema solar no es un planeta;

la contradicción que lleva su nombre, se hizo nece-

por lo tanto, no se pertenece a sí misma. La con-

sario,...