Cuadricas

Superficies
Mat203-C´alculo Multivariable.
Primer Semestre 2015.

Antes de empezar con superficies hagamos un resumen de c´onicas:
Ecuaci´
on de una par´
abola.
y = a(x − h)2 + k
Ecuaci´
on de unacircunferencia.
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Ecuaci´
on de una elipse.
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
(La cirfunferencia es un caso particular de la elipse cuando a = b)
Ecuaci´
on de una hip´
erbola.
(x −h)2 (y − k)2
−
=1
a2
b2

1

Algunas superficies en el espacio tridimensional.

An´alogamente a lo que son las c´onicas en el plano, en el espacio tenemos las llamadas superficies cu´
adricas. Estas sonsuperficies que tienen ecuaci´on de la forma:
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Hay seis (siete si contamos a la esfera, que es un caso particular del elipsoide) tipos desuperficies
cu´adricas:
Elipsoide
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c

Figura 1:

x2
16

+

2

y2
25

+

z2
9

=1

Esfera de radio r (Caso particular del Elipsoide, cuando a = b = c)
x2 + y 2 + z 2 = r 2Figura 2: x2 + y 2 + z 2 = 1

Hiperboloide de una hoja
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 =1
a2
b
c

Figura 3:

y2
9

+

3

z2
16

−

x2
25

=1

Hiperboloide de dos hojas
x2 y 2 z 2
− 2 − 2 =1
a2
b
c

Figura 4:

x2
16−

y2
25

−

z2
9

Paraboloide El´ıptico
z=

4

x2 y 2
+ 2
a2
b

=1

Paraboloide Hiperb´
olico
z=

Figura 5:

y 2 x2
− 2
b2
a

x2
16

−

y2
9

=z

Cono El´ıptico
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 =0
a2
b
c

Figura6:

x2
16

+

5

y2
9

−

z2
25

=0

Secciones transversales o traza de una superficie
Las gr´aficas de superficies puede realizarse mejor encontrando las intersecciones de la superficie
con planos.Estas intersecciones son las secciones transversales o traza. Por ejemplo, para
analizar la gr´afica de
x2 y 2 z 2
+
+
=1
16 25
9
podemos analizar primero la secci´on transversal en el plano xy, estoes cuando z = 0. Es decir,
la gr´afica de la ecuaci´on
x2 y 2
+
=1
16 25
la cual es una elipse. Las trazas en los planos xz y yz se obtiene de la misma manera, obteniendo tambi´en elipses. Esto nos...