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1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas

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1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas
Este primer capítulo sirve de repaso a los conceptos y métodos que se vieron en el curso introductorio
de Física sobre Teoría Electromagnética. Se analizan situaciones típicas en las que determinadas
distribuciones de carga conocidas –sean puntuales, dipolos, o distribuciones continuas–producen
campos y potenciales en el espacio. Algunos otros problemas hacen referencia a corrientes
estacionarias y sus distribuciones de campo magnético. Se emplean herramientas conocidas, como las
leyes integrales de Gauss y Ampère y las ecuaciones diferenciales de Laplace y Poisson. Se han
incluido también ejercicios de inducción electromagnética, resolubles mediante la ley de Faraday.
Estosproblemas se incluyen en algunos textos bajo el epígrafe de Campos lentamente variables en el
tiempo , y es cierto que ya no son problemas en régimen estático, y que implican relaciones entre
campos eléctricos y magnéticos. Sin embargo, los incluimos en este primer capítulo porque reflejan
situaciones ya conocidas por los estudiantes.

1 . Calcule el flujo del campo eléctrico creado por unacarga puntual, de valor q , situada en el origen
de coordenadas, a través de las dos superficies siguientes:

a) una semiesfera de radio R, cuyo centro (el origen de los radios) coincide con la carga.
b) el plano y = d .
2 . Un medio dieléctrico sometido a la acción de un campo eléctrico se polariza y, como consecuencia,
aparecen en el medio las llamadas densidades de carga ligada, volúmicay superficial. El vector de
polarización da cuenta del estado de polarización del medio y aquellas densidades de carga pueden
calcularse a partir de este vector. Las expresiones son, respectivamente:

ρ b = −∇ ⋅ P
 

ˆ
σb = P⋅n
 

∫ E ⋅ ds = Q / ε
¡

¡

A p artir de la igualdad

S

0

, deduzca la ley de Gauss para el vector desplazamiento que,

en el caso más sencillo ymás habitual de que no haya cargas libres en el dieléctrico, toma la forma

∫ D ⋅ ds = 0
¢

¢

S

El vector desplazamiento eléctrico D se define como D = ε 0 E + P .
¡

¡

¡

¡

© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.

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Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos

3 . Calcule el potencial eléctrico en el interior de una esfera de radio a q ue contiene una densidadde
carga eléctrica

r
ρ = ρ 0 (1 + 2 )
a
sabiendo que el potencial es nulo en el infinito. Haga el cálculo a partir de la ecuación de Poisson.

4 . Determine el campo eléctrico dentro y fuera de una distribución esférica de carga de densidad
constante ρ 0 y radio R. Utilice la ley de Gauss.
5 . Algunas de las líneas de campo electrostático de la figura 1, donde A y B son conductoresperfectos, no son posibles. ¿Cuáles son?, ¿por qué?

A
B

Fig. 1 Líneas de campo electrostático entre dos conductores.
Algunas de esas líneas no son posibles físicamente

6 . Dos cargas puntuales de valores +q y -q están situadas, respectivamente, en los puntos z = s/2 y z
= -s/2 , formando un dipolo eléctrico.
a ) Calcule el potencial eléctrico creado por el dipolo en todo el espacio.

b)Aproxime la expresión anterior para puntos tales que r >> s.
7 . La gráfica de la figura 2 representa la distribución de carga volúmica en una unión p-n no
polarizada. Esa distribución, debida a la huida de los portadores mayoritarios de uno y otro lado de la
unión, se denomina zona de carga espacial. Ocurre que el exceso de electrones libres debido a los
átomos d onadores de la zona n hanescapado, dejando tras de sí una zona iónica de carga neta
positiva, y también algunos electrones de la banda de valencia han sido capturados por los átomos
a ceptores de la zona p , formando un volumen de iones negativos.

© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
Los

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a ) A p artir de la ley de Gauss en forma diferencial,...