Definicion Formal De Limites

* Definición formal de Límite.

Analizando la definicion informal de limite si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x tiende a c por cualquiera de sus dos lados, decimos que el limite de f(x) cuando x tiende a c es L y escribimos:
limx→cfx=L
A esta definición se le llama informal porque aun tenemos que dotar de un significado preciso a las frases “f(x) se acerca arbitrariamentea L” y “x tiende a c”.
La primera persona en asignar un significado matemático riguroso a estas dos frases fue Augustin Louis Cauchy. Su definición ɛ-δ es la que se utiliza hoy de forma estándar.
Sea ε un numero positivo muy pequeño. Entonces, la frase “f(x) se acerca arbitrariamente a L” significa que f(x) pertenece al intervalo (L-ε, L+ε). Usando la noción de valor absoluto, esto se puedeescribir como:
│fx-L│<ε
Analógicamente la frase “x tiende a c” significa que existe un numero positivo δ tal que x pertenece bien al intervalo (c-δ, c), o bien el intervalo (c, c+δ). Este hecho puede expresarse de manera concisa mediante la doble desigualdad
0<│x-c│<δ

La primera desigualdad
0<│x-c│ la diferencia entre x y c esmayor que 0

Expresa el hecho de que x≠c. La segunda:
│x-c│<δ x esta a menos de δ unidades de c
Nos dice que x está a una distancia de c menor que δ.

Por lo tanto:

Sea f una función definida de un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en c) y L un número real. La afirmación:
limx→εfx=L
Significa que paratodo ε>0 existe un δ>0, tal que si
0<│x-c│<δ , entonces │fx-L│<ε



Ejemplo:
Dado el límite
limx→32x-5=1

Hallar δ tal que │2x-5-1│<0,01 siempre que 0<│x-3│<δ.

Solución: En este problema se trabaja con un valor de ε, ε=0,01. Para encontrar un δ apropiado, observemos que:
│2x-5-1│=│2x-6│=2│x-3│

Como la desigualdad │2x-5-1│<0,01 es equivalente a2│x-3│<0,01,
podemos escoger δ=120,01=0,005, esta selección funciona porque:
0<│x-3│<0,005

Implica que:

│2x-5-1│=2│x-3│<20,005=0,01

* Limites trigonométricos.

Cada una de las seis funciones trigonométricas básicas, también poseen esta deseable propiedad de sustitución directa, como establece el siguiente teorema:

1.- limx→csenx=senc
2.- limx→ccosx=cosc
3.- limx→ctgx=tgc
4.-limx→cctgx=ctgc
5.- limx→csecx=secc
6.- limx→ccosecx=cosecc

Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites. Los principales límites trigonométricos a utilizar son:

limx→0cosx=1 limx→0senxx=1 limx→0tanxx=1limx→0xsenx=1 limx→0senx=0 limx→0senKxKx=1

limx→01-cosxx=0 limx→01-cosxx2=12 limx→0xtanx=1

limx→0tanKxKx=1

Ejemplos:

1) limx→0tgx=tg0

2) limx→πxcosx=(limx→πx)(limx→πcosx)=πcosπ=-π

3) limx→0sen2x=limx→0senx2=02=0

4)

5)

1.
2. Para resolverloutilizaremos un procedimiento común en algunos límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresión. Multiplicamos por el conjugado de que es




Recordando que sen2x + cos2x=1 sen2x= 1-cos2x

3.
Recordando que


* Asíntotas de funciones.
Una delas formas de estudiar el comportamiento de una función cuando sus valores tienden a infinito o en aquellos puntos en los que la función no está definida (puntos aislado) es comparar la función con una recta, así diremos que una recta es una asíntota de una función cuando la gráfica de la función y la recta permanecen muy próximas. Dependiendo de como sea la recta tenemos tres tipos de...