Definicion Formal De Limite

Definición formal de límite.
Consideremos un intervalo abierto que contenga al número a. Sea f una función definida en todos los números del intervalo exceptoposiblemente en a y sea L un número real. Entonces:

Significa que para todo ε > 0 existe una δ > 0 tal que:

Si 0 < | x – a | < δ, entonces | f(x) – L | < ε

Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las trescondiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límitede la función en el punto.

Estudiar la continuidad de  en x =2
f(2)= 4

Continuidad en un intervalo cerrado
Una función f(x) es continua en un intervalocerrado [a, b] si:
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b)
f es continua en a por la derecha:

f es continua en b por laiquierda:

Consecuencia
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.

Estudiar la continuidad de  en el intervalo [0,4].
f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x2 por ser una función polinómica es continua en toda .
f(x) es continua por la derecha en x = 4, ya que f(x) = 4 por ser una función polinómica es continua en toda .
Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar lacontinuidad en el punto x = 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos.
f(2)= 4

Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].