Demostraci N En Forma Pr Ctica Del Teorema Del Muestreo

Marco Teórico
El teorema del muestreo fue formulado por primera vez por Harry Nyquist en 1929 y demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949.
Básicamente el teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de suancho de banda.
En el proceso de muestreo una señal continua en el tiempo es convertida en una señal discreta en el tiempo, por mediciones realizadas a la señal en instantes periódicos de tiempo. Para que el proceso de muestreo tenga una utilidad práctica es necesario escoger la velocidad de muestreo adecuadamente para que la señal discreta resultante del proceso quede únicamente definida desde laseñal continu, ésta es la esencia del teorema del muestreo. De acuerdo a esto las preguntas son: ¿Cuál es la velocidad mínima de muestreo? y ¿Cuál es la velocidad máxima de muestreo?, la primera pregunta se debe determinar, en cambio la respuesta a la segunda pregunta es que no existe un límite superior, esto se puede aproximar al infinito (si es posible realizarlo desde el punto de vista físico) y seaproxima al caso continuo. En general el teorema del muestreo establece que si una señal no contiene frecuencias mayores que ωo radianes por segundo, la señal queda completamentecaracterizada por valores de la señal medidas a instantes de tiempo segundos.

Figura 1: Señal f(t) muestreada; a) Segmento de la señal f(t); b) Señal f (t) en el plano de la frecuencia

Demostración MatemáticaConsidérese una señal f(t) limitada en banda que no contenga componentes espectrales mayores de fm Hz. Esto significa que F(ω), la transformada de Fourier de f(t), es cero cuando |ω| > ωm (ωm = 2πfm ). Supongamos que multiplicamos la función f(t) por una función impulso periódica δT(t). La función producto es una sucesión de impulsos localizados a intervalos regulares de T segundos con intensidadesiguales a los valores de f(t) en los instantes correspondientes. El producto f(t) δT (t) representa la función f(t) muestreada a intervalos uniformes de T segundos. Denotaremos la función muestreada por fs(t).
(1)
El espectro de frecuencias de f(t) es F(ω). Se ha demostrado que la transformada de Fourier de un tren uniformede funciones impulso δT(t) es otro tren uniforme de funciones impulso δω0(ω). Los impulsos están separados por un intervalo uniforme de ω0 = 2π/T.
(2)
La transformada de Fourier de f(t) δT(t) estará dada de acuerdo con el teorema de la convolución de la frecuencia, por la convolución de F(ω) con ω0 δω0 (ω).(3)
Al sustituir ω0 = 2π/T, obtenemos
(4)
Por la ecuación (4), es evidente que el espectro de la señal muestreada fs(t) está dado por la convolución de F(ω) con un tren de impulsos. Para realizar la función de convolución, desplazamos todo el tren de impulsos [δω0 (ω)] en la direcciónpositiva de ω. Cuando cada impulso pasa por F(ω), reproduce la misma F(ω). Como los impulsos está a intervalos de ω0 = 2π/T, la operación de convolución resulta en que se repita F(ω) cada ω0 radianes por segundo. La función de densidad espectral correspondiente a fs(t) es, por lo tanto, la misma F(ω) pero repetida periódicamente cada ω0 radianes por segundo mientras ω0 ≥ 2ωm, es decirdespejando T
(5)
Por consiguiente, cuando muestreamos la función f(t) a intervalos uniformes, menores de 1/2fm segundos, la función de densidad espectral de fs(t) será una réplica periódica de F(ω) y, por lo tanto, contendrá toda la información acerca de f(t)....