Derivacion E Integracion
Páginas: 29 (7043 palabras)
Publicado: 23 de junio de 2015
Capítulo 6
Derivación e integración numérica
6.1.
Introducción
El problema que abordaremos en este capítulo es el siguiente:
Dada una función f (x) y dos números a y b de forma que f (x) está definida en el intervalo
dk f
[a, b], calcular la derivada k en un punto del intervalo o la integral ab f (x)dx numéricamente,
dx
estableciendo una cota del error cometido.
Extenderemos el problema aintegrales multidimensionales. En general la función f (x) es
conocida sólo en un conjunto discreto de puntos x1 , x2 , . . . , xn ∈ [a, b], por lo que será necesario
en primer lugar encontrar una aproximación a la función f (x) a partir de dicho conjunto discreto
de puntos. Las aproximaciones empleadas serán en general polinomios interpoladores sobre el
conjunto de puntos datos. En generalencontraremos más practico aproximar la función a tramos
mediante una serie de polinomios interpoladores de orden bajo, digamos de orden 1 o 2, que
utilizar un polinomio interpolador del orden n elevado. Como vimos en el capítulo 5, los polinomios interpoladores de orden elevado pueden oscilar salvajemente entre los puntos en los que se
interpola, con comportamientos ajenos a la función original. Esto esmucho más acentuado si los
valores f (xi ) se conocen empíricamente y vienen afectados de un error de medida.
6.2.
Reglas de derivación basadas en el polinomio interpolador
Podemos aproximar la función f (x) en un punto arbitrario x = x0 + sh por su polinomio
interpolador de grado n
n
s
j
Pn (x) = Pn (x0 + sh) = !
f0
j
j=0
y teniendo en cuenta el término de error podemos escribir
f (x) = Pn (x) +s
n+1
93
(n+1)
hn+1 f0
(ξ )
CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
94
Podemos estimar la derivada primera como
f (x)
Pn (x) =
ds d
1d
1
Pn (x0 + sh) =
Pn (x0 + sh) =
dx ds
h ds
h
n
d
! ds
j=0
s
j
j
f0
Tenemos para las derivadas de los primeros números combinatorios
d
ds
d
ds
d
ds
s
1
s
2
s
3
=
=
=
d
s=1
ds
d s(s − 1) 2s − 1
=
ds
2
2
d s(s − 1)(s − 2) 3s2 − 6s + 2=
ds
6
6
d s(s − 1)(s − 2)(s − 3) 4s3 − 18s2 + 24s − 6
d
s
=
=
ds 4
ds
6
24
con lo que podemos escribir
Pn (x) =
1
h
f0 +
2s − 1
2
2
f0 +
3s2 − 6s + 2
6
3
f0 +
4s3 − 18s2 + 24s − 6
24
4
f0 + · · · +
d
ds
s
n
n
f0
Análogamente, tenemos para la derivada segunda
Pn (x) =
ds
dx
2
d2
1
Pn (x0 +sh) = 2
2
ds
h
2
f0 + (s − 1)
3
f0 +
12s2 − 36s + 24
24
4
f0 + · · · +
d2
ds2
sn
n
La máxima derivada que podremos calcular es la n-ésima ya que
dn
[s(s − 1) · · · (s − n + 1)] = n!
dsn
y por lo tanto tenemos
f (n) (x)
6.2.1.
(n)
Pn (x) =
1
hn
n
f0
Derivadas primeras
Vamos a estudiar las derivadas obtenidas para diversos valores del grado del polinomio n y
del punto s. Si tomamos el orden del polinomio interpolador n = 1, tenemos
f (x)
P1 (x) =
1
h
f0 =
f1 − f0h
para cualquier punto s entre x0 y x1 . Si tomamos n = 2, obtenemos las llamadas fórmulas de
tres puntos, que dependen del valor de s. Si consideramos el punto s = 1, es decir calculamos la
derivada en el punto medio x = x1 , obtenemos la fórmula
f (x1 )
1
P2 (x1 ) = [
h
f0 +
1
2
2
1
1
f2 − f0
f0 ] = [ f1 − f0 + ( f2 − 2 f1 + f0 )] =
h
2
2h
f0
6.2. REGLAS DE DERIVACIÓN BASADAS EN ELPOLINOMIO INTERPOLADOR
95
mientras que en los extremos (s = 0 y s = 2)
1
P2 (x0 ) = [
h
f (x0 )
f0 −
1
2
2
1
1
− f2 + 4 f1 − 3 f0
f0 ] = [ f1 − f0 − ( f2 − 2 f1 + f0 )] =
h
2
2h
3 2
1
3
f0 − 4 f1 + 3 f2
1
P2 (x2 ) = [ f0 +
f0 ] = [ f1 − f0 + ( f2 − 2 f1 + f0 )] =
h
2
h
2
2h
Estas fórmulas tienen errores diferentes. Utilizando el término de error de la derivada (la derivada
del término de errordel polinomio) obtenemos
f (x2 )
f (x) =
f (x) =
f1 − f0 2s − 1 (2)
+
h f (ξ )
h
2
f2 − f0 3s2 − 6s + 2 2 (3)
−
h f (ξ )
2h
6
Tenemos que para n = 1 y s = 1
f (x) =
f1 − f0 1 (2)
+ h f (ξ )
h
2
f (x) =
f2 − f0 1 2 (3)
− h f (ξ )
2h
6
mientras que para n = 2 y s = 1
Vemos que con un polinomio de segundo orden el error varía con h2 mientras que con uno de
primer orden varía con h. El...
Derivación e integración numérica
6.1.
Introducción
El problema que abordaremos en este capítulo es el siguiente:
Dada una función f (x) y dos números a y b de forma que f (x) está definida en el intervalo
dk f
[a, b], calcular la derivada k en un punto del intervalo o la integral ab f (x)dx numéricamente,
dx
estableciendo una cota del error cometido.
Extenderemos el problema aintegrales multidimensionales. En general la función f (x) es
conocida sólo en un conjunto discreto de puntos x1 , x2 , . . . , xn ∈ [a, b], por lo que será necesario
en primer lugar encontrar una aproximación a la función f (x) a partir de dicho conjunto discreto
de puntos. Las aproximaciones empleadas serán en general polinomios interpoladores sobre el
conjunto de puntos datos. En generalencontraremos más practico aproximar la función a tramos
mediante una serie de polinomios interpoladores de orden bajo, digamos de orden 1 o 2, que
utilizar un polinomio interpolador del orden n elevado. Como vimos en el capítulo 5, los polinomios interpoladores de orden elevado pueden oscilar salvajemente entre los puntos en los que se
interpola, con comportamientos ajenos a la función original. Esto esmucho más acentuado si los
valores f (xi ) se conocen empíricamente y vienen afectados de un error de medida.
6.2.
Reglas de derivación basadas en el polinomio interpolador
Podemos aproximar la función f (x) en un punto arbitrario x = x0 + sh por su polinomio
interpolador de grado n
n
s
j
Pn (x) = Pn (x0 + sh) = !
f0
j
j=0
y teniendo en cuenta el término de error podemos escribir
f (x) = Pn (x) +s
n+1
93
(n+1)
hn+1 f0
(ξ )
CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
94
Podemos estimar la derivada primera como
f (x)
Pn (x) =
ds d
1d
1
Pn (x0 + sh) =
Pn (x0 + sh) =
dx ds
h ds
h
n
d
! ds
j=0
s
j
j
f0
Tenemos para las derivadas de los primeros números combinatorios
d
ds
d
ds
d
ds
s
1
s
2
s
3
=
=
=
d
s=1
ds
d s(s − 1) 2s − 1
=
ds
2
2
d s(s − 1)(s − 2) 3s2 − 6s + 2=
ds
6
6
d s(s − 1)(s − 2)(s − 3) 4s3 − 18s2 + 24s − 6
d
s
=
=
ds 4
ds
6
24
con lo que podemos escribir
Pn (x) =
1
h
f0 +
2s − 1
2
2
f0 +
3s2 − 6s + 2
6
3
f0 +
4s3 − 18s2 + 24s − 6
24
4
f0 + · · · +
d
ds
s
n
n
f0
Análogamente, tenemos para la derivada segunda
Pn (x) =
ds
dx
2
d2
1
Pn (x0 +sh) = 2
2
ds
h
2
f0 + (s − 1)
3
f0 +
12s2 − 36s + 24
24
4
f0 + · · · +
d2
ds2
sn
n
La máxima derivada que podremos calcular es la n-ésima ya que
dn
[s(s − 1) · · · (s − n + 1)] = n!
dsn
y por lo tanto tenemos
f (n) (x)
6.2.1.
(n)
Pn (x) =
1
hn
n
f0
Derivadas primeras
Vamos a estudiar las derivadas obtenidas para diversos valores del grado del polinomio n y
del punto s. Si tomamos el orden del polinomio interpolador n = 1, tenemos
f (x)
P1 (x) =
1
h
f0 =
f1 − f0h
para cualquier punto s entre x0 y x1 . Si tomamos n = 2, obtenemos las llamadas fórmulas de
tres puntos, que dependen del valor de s. Si consideramos el punto s = 1, es decir calculamos la
derivada en el punto medio x = x1 , obtenemos la fórmula
f (x1 )
1
P2 (x1 ) = [
h
f0 +
1
2
2
1
1
f2 − f0
f0 ] = [ f1 − f0 + ( f2 − 2 f1 + f0 )] =
h
2
2h
f0
6.2. REGLAS DE DERIVACIÓN BASADAS EN ELPOLINOMIO INTERPOLADOR
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mientras que en los extremos (s = 0 y s = 2)
1
P2 (x0 ) = [
h
f (x0 )
f0 −
1
2
2
1
1
− f2 + 4 f1 − 3 f0
f0 ] = [ f1 − f0 − ( f2 − 2 f1 + f0 )] =
h
2
2h
3 2
1
3
f0 − 4 f1 + 3 f2
1
P2 (x2 ) = [ f0 +
f0 ] = [ f1 − f0 + ( f2 − 2 f1 + f0 )] =
h
2
h
2
2h
Estas fórmulas tienen errores diferentes. Utilizando el término de error de la derivada (la derivada
del término de errordel polinomio) obtenemos
f (x2 )
f (x) =
f (x) =
f1 − f0 2s − 1 (2)
+
h f (ξ )
h
2
f2 − f0 3s2 − 6s + 2 2 (3)
−
h f (ξ )
2h
6
Tenemos que para n = 1 y s = 1
f (x) =
f1 − f0 1 (2)
+ h f (ξ )
h
2
f (x) =
f2 − f0 1 2 (3)
− h f (ξ )
2h
6
mientras que para n = 2 y s = 1
Vemos que con un polinomio de segundo orden el error varía con h2 mientras que con uno de
primer orden varía con h. El...
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