Derivada implicita

Tema 13. Derivación implícita y de orden superior |
Hasta el momento, hemos obtenido derivadas de funciones donde la variable y está expresada en función de otra variable x; es decir  y=f(x), a este tipo de ecuación se le conoce como forma explícita.Ejemplos:

Cuando en una ecuación la relación entre variables x y y se encuentra establecida en forma indirecta (donde no está despejada lavariable y), se dice que la variable y es una función implícita de la variable x.Ejemplos:Diferenciación implícita Para encontrar dy/dx  o  y´ de una función implícita, aplicaremos la regla de la cadena, a este método se le conoce como diferenciación implícita.Ejemplo 1: encuentra dy/dx para la función implícita Solución: vamos a derivar la ecuación con respecto a la variable x, entonces:  Derivamosel primer término en forma ordinaria, aplicando la regla de la potencia. Para derivar el segundo término, también se deriva en forma ordinaria y nuevamente aplicando la regla de la potencia, pero como derivaste con respecto a la variable y, se tendrá que multiplicar por y´=dy/dx. Al derivar el término que está al otro extremo de la igualdad, se observa que es una constante y su derivada es cero.Entonces, la ecuación queda expresada de la siguiente forma:Ahora lo único que falta es despejar y´ de la ecuación .El término 2x se encuentra sumando, va a pasar al otro extremo de la igualdad restando y el término 2y que multiplica a y´ pasará dividiendo, entonces: .Simplificando la expresión, se obtiene que: .Ejemplo 2: encuentra dy/dx para la función implícita Solución: vamos a derivar laecuación con respecto a la variable x, entonces Observa que el primer término es un producto, entonces debemos aplicar la regla para derivar un producto, la derivada quedaría expresada como:Solamente nos falta despejar y´, para ello debemos asociar todos los términos que contengan a y´ en uno de los extremos de la igualdad y los que no, en el otro extremo. Después se debe sacar a  y´  de factorcomún y despejarlo, como a continuación:Derivadas de orden superiorSi la función f es derivable, es posible obtener su derivada y al hacerlo, obtenemos una nueva función a la cual llamamos la primera derivada de f y se denota como f´.Si se tiene la función  f´ y es derivable, entonces es posible obtener su derivada y al hacerlo, obtenemos una nueva función, a la cual llamaremos la segunda derivada def y se denotará como f´´.Al hacer esto en forma análoga con f´´, obtenemos la tercera derivada de f denotada como f´´´ y así sucesivamente. A estas derivadas se le llama derivadas de orden superior.Existen varios tipos de notaciones para representar a las derivadas de orden superior; por ejemplo, la segunda derivada se puede representar en cualquiera de las siguientes notaciones:A continuaciónse presentan en la tabla algunos ejemplos de derivadas de orden superior:También se pueden derivar funciones implícitas, por ejemplo: La primera derivada de este ejemplo, resultó ser
Entonces podemos obtener la segunda derivada, aplicando la regla del cociente: observa que aparece y´  y sabemos que .
Sustituyendo, se obtiene que 
Simplificando la expresión, obtenemos que o bien.Glosario:Función explicita: cuando en una ecuación que contiene dos variables es posible despejar alguna de ellas. Función implícita: cuando en una ecuación de dos variables, no es posible o conveniente despejar una variable en función de la otra.Derivadas de orden superior: son la segunda, tercera, cuarta y enésima derivada de una función. |
Tema 14. Aplicaciones de la derivada |
Cómo aplicar la derivadaa problemas de optimización: máximos y mínimos de una funciónLa primera derivada también sirve de ayuda para localizar los puntos altos y bajos sobre la gráfica de f. El conocimiento de estos puntos es muy importante para graficar las funciones y resolver problemas de optimización. Los puntos altos y puntos bajos corresponden a los máximos (a y c) y mínimos (b y d) relativos de una función....