Derivada

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
FACULTAD CS. NATURALES MATEMATICA Y M.AMBIENTE
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

UNIDAD I APLICACIONES DE LA DERIVADA
Resumen
• Funci´n impl´
o
ıcita: Se dice que y es una funci´n impl´
o
ıcita de x cuando se escribe en
la forma f (x, y ) = 0
• Derivada de la funci´n impl´
o
ıcita: Para obtener y , se deriva la ecuaci´n f (x, y ) = 0
o
con respectoa x teniendo presente que y es funci´n de x, luego se despeja y .
o
Si se desea obtener x , se deriva la ecuaci´n f (x, y ) = 0 con respecto a y teniendo
o
presente que x es funci´n de y , luego se despeja x .
o
• Derivada de orden superior : Si y = f (x) entonces :
dy
Derivada de primer orden (primera derivada)
: y = f (x) = dx
d2
Derivada de segundo orden (segunda derivada) : y = f(x) = dxy
2
d3 y
Derivada de tercer orden (tercera derivada)
: y = f (x) = dx3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
dn y
n
n
Derivada de en´simo orden (n-´sima derivada) : y = f (x) = dxn
e
e

• Ecuaci´n de la recta tangente : Si (x0 , y0 ) es un punto de f , entonces f (x0 , y0 )
o
representa la pendiente de la recta tangente a f en el punto (x0 , y0 ). Por tanto,
mediante laexpresi´n y − y0 = f (x0 , y0 )(x − x0 ) se obtiene la ecuaci´n de la recta
o
o
tangente a f en el punto (x0 , y0 ).
• Funci´n creciente-decreciente: Dada f derivable en ]a, b[ entonces
o
a) f creciente en ]a, b[ ⇐⇒ f (x) > 0 ∀x ∈]a, b[
b) f decreciente en ]a, b[ ⇐⇒ f (x) < 0 ∀x ∈]a, b[
• Punto critico: x0 es punto cr´
ıtico para f si f (x0 ) = 0 o f (x0 ) no est´ definida
a
• Extremos de unafunci´n: Sea x0 punto cr´
o
ıtico de una funci´n continua f en un
o
intervalo ]a, b[ tal que x0 ∈]a, b[ , con f derivable en ]a, b[ (salvo quiz´s en x0 ):
a
a) Si f (x) < 0 ∀x ∈]a, x0 [ y f (x) > 0 ∀x ∈]x0 , b[ entonces en x = x0 hay un
m´
ınimo relativo. El m´
ınimo est´ dado por f (x0 )
a
b) Si f (x) > 0 ∀x ∈]a, x0 [ y f (x) < 0 ∀x ∈]x0 , b[ entonces en x = x0 hay un
m´ximo relativo. Elm´ximo est´ dado por f (x0 )
a
a
a

• Extremos absolutos: Extremos en un intervalo cerrado
• Si f es continua en un intervalo cerrado, entonces f alcanza su valor m´ximo y su
a
valor m´
ınimo en dicho intervalo
• Algoritmo para determinar extremos en un intervalo abierto ]a, b[ (extremos relativos)
1. Obtener puntos cr´
ıticos con la ecuaci´n: f (x) = 0 o f (x) no definida (f (x) = ∞)o
2. Representar los puntos cr´
ıticos en el eje de las abscisas (eje x)
3. Determinar el signo de f (x) en cada intervalo generado por los puntos cr´
ıticos.
4. Determinar extremos considerando:
a ) f (x) tiene un m´ximo relativo en f (x0 ) si f (x) cambia de (+) a (−)
a
al pasar por el punto cr´
ıtico x0
b ) f (x) tiene un m´
ınimo relativo en f (x0 ) si f (x) cambia de (−) a (+)al pasar por el punto cr´
ıtico x0
• Algoritmo para obtener extremos en un intervalo cerrado [a, b] (extremos absolutos)
1. Determinar puntos cr´
ıticos de f
2. Evaluar f en cada punto cr´
ıtico contenido en ]a, b[
3. Evaluar f en x = a y en x = b
4. De las evaluaciones obtenidas en 2) y 3) : La menor evaluaci´n para f es el
o
m´
ınimo, la mayor evaluaci´n para f es el m´ximo.
o
a
•Concavidad: Una curva se dice,
a) C´ncava hacia arriba en un inervalo ]a, b[ , si todos los puntos de la curva est´n
o
a
por sobre las tangentes a la curva en ]a, b[
b) C´ncava hacia abajo en un inervalo ]a, b[ , si todos los puntos de la curva est´n
o
a
por debajo de las tangentes a la curva en ]a, b[
• Criterio de concavidad: Sea f con segunda derivada en un intervalo abierto ]a, b[
a)Si f (x) > 0 para todo x ∈]a, b[ entonces f es c´ncava hacia arriba
o
a) Si f (x) < 0 para todo x ∈]a, b[ entonces f es c´ncava hacia abajo
o
• Punto de inflexi´n: En el punto c hay un punto de inflexxi´n para f (x) si al pasar
o
o
por c , se produce un cambio de concavidad de f
• Si en x = c se presenta un punto de inflexi´n para f entonces f (x) = 0 o f (x) no
o
est´ definida (f (x) =...