derivada

Tema 4

La Derivada y sus
Aplicaciones

Definición de Derivada
y = f (x)

Q

y2 = f(x2)

P
y1 = f (x1)

tangente

R


secante

f’(x) = mtan
x1

x2

x = x2 – x1

y
f x  x   f x 
f ' x   lím
 lím
x 0
x
x 0 x

Derivada de una función
a partir de la definición

1. Incremento en  x ,  se incrementa en y
y  y  f x  x 
2. Calcularincremento  y
y  f x  x   f x 
3. Calcular el cociente  y /  x
y
f x  x   f x 

x
x

4. Calcular

y
f x  x   f x 
lím
 lím
x
x 0 x
x 0

Ejercicios
Calcular la derivada la función a partir de la definición
1
1) f  x  
x

2)

f x   x

1
3) f x   2
x

4)

f x  

3

x

Interpretación física de la
Derivada
•Sea la función y = f(x)
• La derivada de dicha función representa una razón
de cambio instantáneo, de y con respecto de x
y=f(x)

Q

y
P

x

dy
y
 m  lím
x 0 x
dx

Derivadas de orden superior
• Sea y=f(x) una función derivable; esto es,
y’ = f’(x)
• Si esta nueva función, y’ = f’(x) ,
es derivable, entonces al derivarla se obtiene
la segunda derivada de la funcióny = f(x)
f ' x  x   f x 
y' '  f ' ' x   Dx f ' x   lím
x 0
x

Otras formas de denotar la segunda derivada
son:
d 2 y d  dy 
    D 2 x y  D 2 x f x   
y
2
dx

dx  dx 

De igual forma, si la segunda derivada es
derivable, al derivarla se obtiene la tercera
derivada de la función, y se escribe
d3y d  d2y 
  2   y ' ' '  f ' ' ' x   D 3 xy  D 3 x f x   y

3
 dx 
dx
dx 


y así sucesivamente.

Derivabilidad y Continuidad
Una función derivable en un punto es continua
en él, pero la afirmación inversa no es
necesariamente verdadera; no toda función
continua en un punto es derivable en él.
Ejemplo:
• Se desea saber si la función f(x) = |x| es
derivable en x = 0.
x0
x 0
f x   f c 
f ' x   lím lím
 lím 
x c

xc

x 0

x0

x 0

x

0

x
lím  1
x 0 x

x
lím
 1
x 0
x

son límites diferentes por la izquierda y por la
derecha,  la función no es derivable en
x = 0,
ya que no existe lím f x 
x 0

Por lo tanto, en cualquier punto en que la
gráfica de una función presente una esquina
aguda, la función es continua pero no
derivable.

a
a:b:
c:
d:

b

c

d

la función no es continua, por lo tanto no es derivable.
la función es continua, pero no derivable
la función es continua, pero no derivable (m=tan 90°→ )
la función es continua y derivable

Fórmulas Básicas de Derivación
• Derivada de la función constante

d
c   0
dx

• Derivada de la función identidad

d
x 1
dx

• Derivada de la sumaalgebraica de funciones
d
du dv dw
u  v  w   
dx
dx dx dx

• Derivada del producto de funciones
d
dv
du
uv  u
 v
dx
dx
dx
d
dv
cv  c
dx
dx

• Derivada del cociente de funciones
du
dv
v
u
d u
dx
dx
 
dx  v 
v2
dv
c
d c
dx
 
dx  v 
v2

• Derivada de una función elevada a un
exponente

d
n
n 1 du
u   n u
dx
dx
du
d
u  dxdx
2 u

Ejercicios de Derivación:
1) y  x 1  3x
3

2



y  x 2x 2  1
2)

3)

2x  1
y 2
x 1

4)

y   5  x 4  2 x  

2

y'  10  2 x  4  2 x  4 x  14

x  1
5) y 
2
x

2

6) y 

1

15 5 x  1

1
y' 
5 x  14

3

7)

2l
A 2
3l  1

x  1 2 x 2  1 3
8) y 

y' 

 4 x 3  10 x 2  4 x  2

x2



1

4

9) y 

4
x2 1

10) y  5 x 2  1 6 x 3  2 x  4






60 xx  2 x  x  1
6

3



y '  20 x  1 x  2 x 3x 2  2 
2

3

3

4

2

5

Derivación de la función
compuesta. Regla de la cadena

• Sean las funciones y  f u  y u  g x 
• La derivada de la función compuesta (función
de función) y  f g x  con...