Derivadas cruzadas

An´
alisis matem´
atico II - 2◦ cuatrimestre 2015

Profesor: Graciela Paolini

IGUALDAD DE DERIVADAS PARCIALES CRUZADAS.
Consideramos una funci´on f (x, y), D = domf , P = (a, b) ∈ D. Los siguientes teoremas dan criterios
que nos permiten determinar cu´ando las ”derivadas cruzadas”(tambi´en llamadas ”derivadas mixtas”)
son iguales:
fxy (P ) = fyx (P ).
Adem´as se desarrolla un ejemplo (enunciadoen la teor´ıa)de una funci´on f (x, y) tal que existe un punto
P que verifica:
fxy (P ) = fyx (P ).
1. TEOREMA: Sea f (x, y) una funci´on definida en un entorno U del punto P tal que:
Las derivadas parciales de primer orden fx , fy existen y son continuas en U
Las derivadas de segundo orden fxy , fyx , fxx , fyy existen y son continuas en U .
entonces se verifica que: fxy (P ) = fyx (P ).Observaci´on: el criterio que enuncia el Teorema 1 va a resultar muy u
´til en la pr´actica. Una
funci´on f (x, y) que satisface las hip´otesis del teorema 1, son las que notamos en clase como funciones de clase C 2 en U.
2. TEOREMA (Schwarz): Sea f (x, y) una funci´on definida en un entorno U del punto P , tal que:
Las derivadas parciales fx , fy , fxy existen en U .
La derivada de segundo orden fxy escontinua en el punto P .
Entonces existe fyx (P ) y se verifica que: fxy (P ) = fyx (P ).
3. TEOREMA (Young): Si las funciones fx , fy existen en un entorno U del punto P y son diferenciables en el punto P entonces se verifica que: fxy (P ) = fyx (P ).
Observaci´on: El Teorema de Young es el que figura en el programa de la materia. El tema diferenciabilidad (que se menciona en el enunciado delteorema) lo veremos en clase.

El siguiente es un ejemplo de una funci´on y un punto P tal que fxy (P ) = fyx (P ). Analizamos adem´as
cu´al de las hip´otesis del teorema 2 enunciados anteriormente no se verifica. Como ejercicio, se pueden
analizar las hip´otesis de los otros teoremas enunciados, para saber cu´al no se verifica en cada caso.
EJEMPLO: Sea
2

f (x, y) =

2

xy xx2 −y
, (x, y) = (0, 0)+y 2
.
0
, (x, y) = (0, 0)

Calculemos sus derivadas parciales de primer orden:
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Si (x, y) = (0, 0), derivamos por definici´on:
f (0+∆x,0)−f (0,0)
=l´ım∆x→0
∆x
(0,0)
l´ım∆y→0 f (0,0+∆y)−f
=l´ım∆y→0
∆y

• fx (0, 0) = l´ım∆x→0

0−0
∆x

=0

• fy (0, 0) =

0−0
∆y

=0

Si (x, y)= (0, 0), derivamos por regla:
• fx (x, y) =

(3x2 y−y 3 )(x2 +y 2 )−2x(x3 y−xy 3 ) x4 y+4x2 y 3 −y 5
= (x2 +y2 )2
(x2 +y 2 )2

• fy (x, y) =

(x3−3y 2 x)(x2 +y 2 )−2y(x3 y−xy 3 ) x5 −4x3 y 2 −xy 4
= (x2 +y2 )2
(x2 +y 2 )2

Resumiendo:

fx (x, y) =

x4 y+4x2 y 3 −y 5
(x2 +y 2 )2

0
x5 −4x3 y 2 −xy 4
(x2 +y 2 )2

fy (x, y) =

0

, (x, y) = (0, 0)
.
, (x, y) = (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)
.
, (x, y) =(0, 0)

Luego:
−∆y 5
∆y 4

fxy (0, 0) =

x (0,0)
=l´ım∆y→0
l´ım∆y→0 fx (0,∆y)−f
∆y

fyx (0, 0) =

4
y (0,0)
l´ım∆x→0 fy (∆x,0)−f
=l´ım∆x→0 ∆y
∆x
∆y

∆y

= −1

∆y 5

=1

fxy (0, 0) = fyx (0, 0)
Analicemos cu´al o cu´ales de las hip´otesis del teorema enunciado no se verifican en este ejemplo. Para
eso, notemos que las derivadas de primer orden fx (x, y), fy (x, y) son continuas en su dominio 2 .En
efecto:
Si (x, y) = (0, 0): fx (x, y), fy (x, y) son cocientes de funciones continuas, con denominador no nulo.
Entonces son continuas.
Si (x, y) = (0, 0):
• ¿l´ım(x,y)→(0,0)

x4 y+4x2 y 3 −y 5
(x2 +y 2 )2

= 0 = fx (0, 0)?

En coordenadas polares, calculamos el siguiente l´ımite:
r5 cos4 θsenθ + 4r5 cos2 θsen3 θ − r5 sen5 θ)
=
r→0,∀θ∈[0,2π)
r4
l´ım

r5 (cos4 θsenθ + 4cos2 θsen3 θ − sen5 θ)
=r→0,∀θ
r4

= l´ım

= l´ım r(cos4 θsenθ + 4cos2 θsen3 θ − sen5 θ) = 0
r→0,∀θ

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• En forma an´aloga, se puede mostrar que: l´ım(x,y)→(0,0)

x5 −4x3 y 2 −xy 4
(x2 +y 2 )2

= 0 = fy (0, 0)

Luego, las derivadas parciales fx (x, y), fy (x, y) son funciones continuas en
vadas de...