Derivadas De Orden Superior

April 15, 2009 CAP´ ITULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

En este cap´ ıtulo D denota un subconjunto abierto de Rn .

´ 1. Introduccion Definici´n 1.1. Dada una aplicaci´n f : D → R, definimos la derivada parcial o o segunda de f como Dij f = ∂2f ∂ = ∂xi ∂xj ∂xi ∂f ∂xj

De forma an´loga, podemos definir las derivadas de orden superior. a Ejemplo 1.2. Consideremos la funci´n o f (x, y, z) = xy2 + ezx entonces ∂f (x, y) = y 2 + zezx ∂x y por ejemplo ∂2f (x, y) = z 2 ezx ∂x∂x Vemos que ∂2f ∂2f (x, y) = (x, y) ∂x∂z ∂z∂x Se puede comprobar que esto se verifica para todas las variables ∂2f ∂2f (x, y) = (x, y) ∂x∂y ∂y∂x Ejemplo 1.3. Consideremos la funci´n o
xy(x2 −y 2 ) x2 +y 2 ,

∂f (x, y) = 2xy ∂y

∂f (x, y) = xezx ∂z

∂2f (x, y) = xezx ∂x∂z

∂2f (x, y) = xezx ∂z∂x

∂2f ∂2f (x,y) = (x, y) ∂y∂z ∂z∂y

f (x, y) =

0,

si (x, y) = (0, 0); si (x, y) = (0, 0).

La gr´fica de esta funci´n es la siguiente a o
1

2

CAP´ ITULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Se comprueba f´cilmente que si (x, y) = (0, 0), a x4 y + 4x2 y 3 − y 5 ∂f (x, y) = ∂x (x2 + y 2 )2 y que ∂f (0, 0) = 0 ∂x Entonces ∂2f (0, 0) = lim x→0 ∂x∂y y ∂2f (0, 0) = lim y→0 ∂y∂x por lo que ∂2f ∂2f (0,0) = (0, 0) ∂x∂y ∂y∂x Por otra parte, se puede comprobar que si (x, y) = (0, 0) entonces ∂2f ∂2f (x, y) = (x, y) ∂x∂y ∂y∂x
∂f ∂x (0, y) ∂f ∂y (x, 0)

x5 − 4x3 y 2 − xy 4 ∂f (x, y) = ∂y (x2 + y 2 )2 ∂f (0, 0) = 0 ∂y −
∂f ∂y (0, 0)

x−0

= lim

x→0

x =1 x

− ∂f (0, 0) −y ∂x = lim = −1 x→0 y y−0

CAP´ ITULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

3

El siguiente resultado proporcionacondiciones suficientes bajo las cuales las derivadas cruzadas coinciden. Teorema 1.4. (Schwarz) Supongamos que para alg´n i, j = 1 . . . , n las derivadas u parciales ∂2f ∂f ∂2f ∂f , , , ∂xi ∂xi ∂xj ∂xj ∂xj ∂xi existen y son continuas en una bola B(p, r) con r > 0. Entonces, ∂2f ∂2f (x) = (x) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi para cada x en la bola B(p, r). Definici´n 1.5. Sea D un subconjunto abierto de Rn y f : D →R. Decimos que o f es de clase
∂f • C 1 (D) si todas las derivadas parciales ∂xi de f existen y son continuas en D para todo i = 1 . . . , n. • C 2 (D) si todas las derivadas parciales de f existen y son de clase C 1 (D). • C k (D) si todas las derivadas parciales primeras

∂f ∂xi de f existen y son de clase C k−1 (D) para todo i = 1 . . . , n. Escribimos f ∈ C k (D). Definici´n 1.6. Sea f ∈ C 2(D). La matriz Hessiana de f en p es la matriz o D2 f (p) = H f (p) = ∂2f (p) ∂xi ∂xj

i,j=1,...,n

Observaci´n 1.7. Por el teorema de Schwarz, si f ∈ C 2 (D) entonces la matriz o H f (p) es sim´trica. e ´ 2. El Teorema de la funcion impl´ ıcita En esta secci´n vamos a estudiar sistemas de ecuaciones no lineales. Por ejemo plo, (2.1) x2 + zexy + z 3x + 2y + z = = 1 3

En general, es muy dif´probar que existe soluci´n (y no siempre existe) o ıcil o resolver de manera expl´ ıcita estos sistemas. Sin embargo, en Econom´ ocurre a ıa menudo que el modelo que estamos estudiando aparece descrito por un sistema de ecuaciones como, por ejemplo, el sistema 2.1. Y nos gustar´ poder decir algo sobre ıa c´mo depende la soluci´n respecto de los par´metros. En esta secci´n estudiamos o o a o estapregunta. En primer lugar observemos que un sistema de m ecuaciones y n inc´gnitas se o puede escribir de la forma

4

CAP´ ITULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

f1 (u) f2 (u)

= = . . . =

0 0

fm (u)
n n

0

donde u ∈ R y f1 , f2 , . . . , fm : R → R. Por ejemplo, el sistema 2.1 se puede escribir como f1 (u) f2 (u) = = 0 0

con f1 (x, y, z) = x2 + zexy + z − 1 y f2 (x) = 3x +2y + z − 3. Una primera cuesti´n es c´mo son las soluciones del sistema 2.1. Comparao o ndo la situaci´n con un sistema lineal deber´ o ıamos esperar que podemos despejar dos variables en funci´n de un par´metro, ya que hay 2 ecuaciones y 3 variables. o a Supongamos, por ejemplo que queremos despejar y, z como funciones de x. Esto puede ser complicado y en la mayor´ de los casos imposible. En...