Derivadas..

3.6 DERIVADA DE OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES En las secciones 1.3 y 1.4 se presentaron, con sus propiedades mas importantes, dos funciones que aparecen en muchas aplicaciones de la matemática, como son: la función exponencial y la función logarítmica. En particular, para la función f ( x) = e x (función exponencial natural), nada se ha dicho acerca de su base e, excepto que es un númeroirracional, y, cuya representación decimal viene dada por e ≈ 2.7182818 … Existen muchas definiciones y teoremas para el número e, dependiendo en cada caso, de la necesidad teórica del autor. En nuestro caso, se dará inicialmente la definición del número e, como un número real que satisface cierta condición. Posteriormente se presentará en un teorema como resultado de un límite. DEFINICIONES: i. e es elnúmero real que satisface la siguiente condición: Lim
h→0

e h −1
h

= 1.

ii. Si a > 0, a ≠ 1, x ∈ R , se define a x como: a x = e x⋅ln a . TEOREMA 1. (Derivada de funciones exponenciales)

i.

Dx  e x  = e x    

Prueba: De acuerdo con la definición de derivada para una función, se tiene: D x e x = Lim
h →0

( )

e x+h − e x
h

= Lim
h →0

ex ⋅eh − e x
h

= Limh→0

e x (e h − 1)
h

= e ⋅ Lim
x h→0

e h −1
h

= e x ⋅1 (definición anterior parte i).
= ex

ii. R.D.23. D x  e   Prueba:

u(x )  u (x ) ⋅ u ' (x ) , =e 

siendo u ( x ) una función derivable.

Use la parte i y la regla de la cadena (R.D.8). D x  a x  = a x ⋅ ln a    

iii.

Prueba: D x  a x  = D x  e x ⋅ ln a          Definición ii.

= e x ⋅ ln a⋅ D x (x ⋅ ln a ) (parte ii)

= e x ⋅ ln a ⋅ ln a = a x ⋅ ln a
Definición ii.

u (x )  u (x ) R.D.24. D x  a ⋅ u ' (x )⋅ ln a  =a  

Prueba: Use la parte iii y la regla de la cadena (R.D.8).
TEOREMA 2. (Derivada de funciones logarítmicas)

i.

D x (log a x ) =

1 x ⋅ ln a

Prueba: Sea y = log a x . De acuerdo con la definición de la función logarítmica:

y = log a x ⇔ x = a yDerivando con respecto a x ambos miembros de la última igualdad, se tiene:
D x (x ) = D x a y

( )
(R.D.2 y R.D.24)

1 = a y ⋅ D x ( y ) ⋅ ln a 1 = x ⋅ D x (log a x ) ⋅ ln a De donde, D x (log a x ) =

1 x ⋅ ln a

ii. R.D.25. D x log u (x ) =

(

a

)

u ' (x ) u ( x ) ⋅ ln a

siendo u ( x ) una función derivable.

Prueba: Use la parte i y la regla de la cadena (R.D.8).En particular, cuando a = e, entonces log a x = ln x y log a u (x ) = ln u ( x ) , y de esta forma, las fórmulas dadas por i y ii se transforman en:
D x (ln x ) =

iii.

1 1 = x ⋅ ln e x
u ' (x ) u ' (x ) = R.D.26 u ( x ) ⋅ ln e u ( x )

iv.

D x (ln u (x )) =

Observaciones: i. Teniendo en cuenta que x n = e n⋅ln x , se tiene entonces:
D x x n = D x e n⋅ln x = e n⋅ln x ⋅ D x (n ⋅ lnx ) = e n⋅ln x ⋅ n ⋅ 1 x

( )

(

)

= x n ⋅ n ⋅ x −1 = nx n −1
Nótese que la derivada de x n , con x ∈ R , obedece la misma fórmula desarrollada en R.D.9 (caso 3) para exponentes racionales.

ii. Para hallar D x f ( x ) a continuación: Sea y = f ( x )
g (x)

(

g (x )

),

se puede aplicar la derivación logarítmica como se ilustra

(1)

Tomando log. natural en ambosmiembros de (1) se tiene:
ln y = g ( x ) ⋅ ln f ( x )

(2)

Derivando ambos miembros de (2) con respecto a x, se puede escribir: D x (ln y ) = D x [g ( x ) ⋅ ln f ( x )]
Dx (y) = g ' (x ) ⋅ ln f ( x ) + g ( x ) ⋅ D x (ln f ( x )) y

= D x ( g ( x )) ln f ( x ) + g ( x ) ⋅

f ' (x ) f (x )

Luego,
D x f (x )

[

g (x )

] = f (x ) ( )  D (g (x )) ln f (x ) + g ((x )) f ' (x ) .  f x
g x



x



Esta expresión es válida para

f (x ) > 0 .

Otra forma en la que puede realizarse la derivada es escribiendo: f (x )
g (x )

= e ln f ( x )

[

] ( ) =e ( )
g x

g x ⋅ln f ( x )

y aplicando luego R.D.23.
TEOREMA 3. (El número e como un límite)

e = lim(1+ h )
h →0

1

h

Prueba: Se hace la prueba suponiendo que la función que su...