derivadas

CAPÍTULO 11

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

11.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

(Áreas 1, 2 y 3)

Para interpretar geométricamente el concepto de la derivada, debe recordarse primeramente su definición dada en la página 45, así como el significado de un límite:

dy
Δy
= lim
dx Δx → 0 Δx
f(x)

que equivale a la pregunta ¿hacia dónde se

S

Q

Δy
acerca el valor del cocientebajo la
Δx

condición de que el incremento de x se
esté aproximando a cero?

Δy

T
P
M
α

Luego debe entenderse la figura
11.1. En ella, f(x) representa la gráfica de
cualquier función (de hecho, la que se está
derivando). Sobre esa curva hay dos puntos: un punto P por el que pasa la recta

β

Δx

x

figura 11.1

151

y

Máximos y mínimos

tangente T a la curva yotro punto Q por el que pasa la secante S.
La recta tangente T forma un ángulo α con el eje x mientras que la secante S forma un
ángulo β. Obsérvese que las coordenadas del punto P son P (x,y). Además, el ángulo ∠ QPM
es igual al ángulo β. Por lo tanto, en el triángulo QPM se tiene que

tan β =

⎛ cateto opuesto ⎞
⎜
⎟
⎝ cateto adyacente ⎠

Δy
Δx

Es necesaria una aclaración: En elidioma Español, como en muchos otros, las palabras
suelen tener más de un significado. Por ejemplo, la palabra clase tiene el significado del sitio en
donde se imparten cátedras; pero también se emplea para denotar clasificación en Biología, los
seres vivos pertenecen a una clase, a un orden, a una familia, a un género y a una especie. También se utiliza la palabra clase para denotar categoría odistinción, cuando se habla de una persona con clase.
Es el caso particular de la palabra tangente, que en esta explicación de la interpretación
de la derivada se empleará con dos significados diferentes, por lo que el estudiante debe estar
alerta para interpretar correctamente dicha palabra cada vez que aparezca. La palabra tangente
tiene un significado trigonométrico que quiere decir elcateto opuesto entre el cateto adyacente;
por otra parte, tiene un significado geométrico y se utiliza para denotar la recta o curva que toca
en un solo punto a otra curva. Se distinguen, entre otras cosas, porque la tangente trigonométrica
se abrevia tan y además tiene argumento, por ejemplo, tan 23, mientras que la tangente geométrica no se abrevia y no tiene argumento.
En la figura 11.1, larecta T es la tangente (geométrica) a la curva y = f ( x ) , mientras
que el cociente de los incrementos al que se refiere la definición de la derivada
gente trigonométrica del ángulo β.

152

Δy
es la tanΔx

Máximos y mínimos

La definición de la derivada exige que el incremento de x tienda a cero ( Δx → 0 ) . Entonces observando la figura 11.1 se ve que si el punto Q se mueve sobre lacurva aproximándose
al punto P, lo que se consigue simultáneamente es que
a) La recta secante S se aproxime a la recta tangente T.
b) El ángulo β se acerca al ángulo α .
c) El incremento de x tiende a cero ( Δx → 0 ).
Recordando de la Geometría Analítica que la pendiente m de una recta es la tangente
(trigonométrica) del ángulo que forma dicha recta con la horizontal, en la figura 11.1, lapendiente de la recta tangente (geométrica) T es mT = tan α, mientras que la pendiente de la secante es

mS = tan β =

Δy
Δx

y como cuando Δx → 0 el ángulo β tiende al ángulo α , necesariamente la pendiente de la secante S se aproxima a la pendiente de la tangente T, o lo que es lo mismo, tan β → tan α ,
finalmente se concluye que

lim

Δx → 0

Δy
= mT = tan α
Δx

pero como estelímite es la derivada, se llega a que

dy
= mT = tan α
dx
la cual, interpretada con palabras y conforme a lo que representa cada literal y símbolo en la figura 11.1, se puede decir que:

153

Máximos y mínimos

La derivada de una función y = f(x) es la pendiente de la
recta tangente a la curva de dicha función, en el punto de
coordenadas P ( x, y ).

Tómese en cuenta que las...