derivadas

derivada en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

LA DERIVADA = En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente

LÍMITE MATEMÁTICA=, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor

Una función es derivable en un conjunto si es derivable en todos los puntos de dicho conjunto.

Si una función (f,D) es derivable en un subconjunto D´ de su dominio D, es posible definir una nueva función que asocia a cadanúmero real de D´ la derivada de f en ese punto:



La función así definida se llama función derivada o, simplemente, derivada de f. Se nota por f´ o también por Df(x).

De la misma forma, a partir de la derivada primera se puede definir, si existe, su derivada, y que recibe el nombre de derivada segunda:



Y así sucesivamente las demás.

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DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DERIVABLE.Consideramos una función derivable de la que conocemos los valores f(a) y f´(a). Supongamos que queremos hallar el valor de f en un punto a + h, siendo f(a+h) difícil de calcular. Podemos obtener una aproximación de este valor si en lugar de hallarlo por f lo calculamos mediante la tangente a la curva en a.



Construimos la recta tangente a y =f(x) en el punto ( a , f(a) ):



El valoraproximado será:



Es decir:



Al término f´(a)·h se le llama diferencial de f en a con incremento h.

EJEMPLO 1

Queremos calcular aproximadamente.
Consideramos la función .
Su derivada es .
Si tomamos la diferencial de esta función para a = 9 y h = 1 tenemos:


El valor real es: 3´1622776... con error menor de cinco milésimas.

Para cada x, donde f es derivable, definimos:Si calculamos la diferencial para la función identidad:



es decir, podemos escribir h = dx, y la diferencial queda: df(x) = f´(x) dx llamada diferencial de f; y al término dx se le denomina diferencial de x.

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DERIVADAS Y CONTINUIDAD.

DEFINICIONES

Una función es derivable en un intervalo abierto (a , b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Una función es derivable enun intervalo cerrado [a , b] si lo es en el abierto (a , b) y es derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.

TEOREMA DE CONTINUIDAD
Si una función es continua en un punto entonces es derivable.
Demostración:

Vamos a demostrar esto último:


El recíproco del teorema no siempre es cierto. Existen funciones continuas en un punto que no son derivables en el mismo.

EJEMPLO 2Consideremos la función:


Es , luego f es continua en x = 0. Sin embargo:


es decir, las derivadas laterales no coinciden, y la función no es derivable en x = 0.



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DERIVADAS Y OPERACIONES.


Sean en adelante f y g dos funciones derivables y c C R. Entonces:

1) DERIVADA DE LA SUMA
f + g es derivable y (f + g)´ = f´ + g´
Demostración:
Paso 1: (f + g)(x + h) = f(x + h) +g(x + h)
Paso 2: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Paso 3: (f + g)(x + h) - (f + g)(x) = f(x + h) + g(x + h) - [(f(x) + g(x)] = [f(x + h) - f(x)] + [g(x + h) - g(x)]
Paso 4: [(f + g)(x + h) - (f + g)(x)]/h = [f(x + h) - f(x)]/h + [g(x + h) - g(x)]/h
Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos:
(f + g)´(x) = f´(x) + g´(x)

2) DERIVADA DEL PRODUCTO POR ESCALARES
c·f es derivable y (c·f)´ = c·f´Demostración:
Paso 1: (c·f)(x + h) = c·f(x + h)
Paso 2: (c·f)(x) = c·f(x)
Paso 3: (c·f)(x + h) - (c·f)(x) = c·f(x + h) - c·f(x) = c·[f(x + h) - f(x)]
Paso 4: [(c·f)(x + h) - (c·f)(x)]/h = c·[f(x + h) - f(x)]/h
Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos:
(c·f)´(x) = c·f´(x)

Estas dos propiedades son muy importantes, ya que demuestran la LINEALIDAD de la derivación:

«Un operador se dice que...