derivadas

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Universidad del Pacífico

Continuidad y Derivadas

Matem´ticas I
a

2014-2

Apuntes

Propiedades de Funciones Continuas
Ejemplo
Lautilidad U :]0, 100[→ R es continua y cuando se producen 50
unidades es mayor que mil soles, ¿existir´ alg´n otro nivel de
a
u
producci´n cuya utilidad sea tambi´n mayor a mil soles?
o
eTeorema
Si f : A → B continua en a ∈ A y f (a) > K , entonces
∃δ > 0, ∀x ∈ A, (x ∈ ]a − δ, a + δ[→ f (x) > K )

Ejercicio
D´ un ejemplo de una funci´n f : R → R tal que f (0) < 1 y
e
o
f (x) ≥ 1para todo x = 1.

Apuntes
Ejemplo
[Parcial 2013-2] Supongamos que S, D : [0, b] → R continuas
representan la oferta y demanda de un producto en funci´n del
o
precio unitario p. Cuando p = 0 lademanda excede la oferta y en
p0 > 0 la oferta excede la demanda. ¿Existe equilibrio? Justifique.
Teorema (del Valor Intermedio)
Si f : [a, b] → R es continua y c est´ entre f (a) y f (b), entonces
aexiste un x0 entre a y b tal que f (x0 ) = c.
Ejercicio
Supongamos que el ingreso I : [1000, 5000] → [1000, 5000] es una
funci´n continua del costo C . Cuando el costo es de mil soles y
ocuando es de cinco mil soles el ingreso est´ entre mil y cinco mil
a
soles. Demuestre que existe un punto de equilibrio, es decir, donde
no hay p´rdidas ni ganancias.
e

Apuntes

Teorema (deWeierstrass)
Si f : [a, b] → R es continua, entonces
∃x1 , x2 ∈ [a, b], ∀x ∈ [a, b], [ f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) ]

Ejemplo
El teorema anterior nos dice que toda funci´n continua en un
o
intervalo[a, b] alcanza su m´ximo y su m´
a
ınimo. Esto ser´ usado
a
m´s adelante para la optimizaci´n de funciones.
a
o

Apuntes

Derivadas
Ejemplo
Si f : [1, 3] → R definida por f (x) = 3x 2 − 6x +4 representa el
costo en funci´n del n´mero de unidades, ¿cu´l es el costo
o
u
a
marginal al producir 2 unidades?
y
y = f (x)
y = mx + b

x

Apuntes

Definici´n
o
Sean f : A → B real...