Derivadas

Secundarios - CBC - Universitarios - Informática - Idiomas
CENTRO DE CAPACITACION

Apunte Nro 0028

DERIVADAS POR DEFINICION

•

Derivada de una constante:

lim∆x →0

0
f ( x + ∆x ) − f ( x )
k−k
= lim∆x →0
= lim∆x →0
=0
∆x
∆x
∆x

f ( x) = x

• Derivada de x :

lim∆x →0

f ( x) = k

∆x
x + ∆x − x
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim∆x →0
= lim∆x →0
= lim∆x →0 1 = 1
∆x∆x
∆x

• Derivada de la raíz cuadrada de x:

lim∆x → 0

f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim∆x → 0
∆x

= lim∆x→0

∆x
∆x ( x + ∆x + x )

• Derivada de 1/x:

lim∆x→0

f ( x) =

x + ∆x − x
= lim∆x → 0
∆x

= lim∆x→0

f ( x) =

1
x + ∆x + x

x

x + ∆x − x
x + ∆x + x
x + ∆x − x
*
= lim∆x → 0
=
∆x
x + ∆x + x
∆x . ( x + ∆x + ∆x )

=

1
2x

1
x

x − ( x + ∆x)1
1
−
x − x − ∆x
−∆x
−1
−1
x( x + ∆x)
x + ∆x x = lim
=2
= lim∆x→0
= lim∆x→0
= lim∆x→0
∆x→0
x( x + ∆x)∆x
x( x + ∆x)∆x
x( x + ∆x) x
∆x
∆x

º

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Apunte Nro 0028

f ( x) = x 2

• Derivada de x2:

lim∆x →0

x 2 + 2. x . ∆x + ∆x 2 − x 2
( x + ∆x ) 2 − x 2
2 . x . ∆x + ∆ x 2
= lim∆x → 0
= lim∆x →0
=
∆x
∆x
∆x

lim∆x →0

(2. x + ∆x). ∆x = lim

∆x → 0

∆x

• Derivada de la suma:

( 2 . x + ∆x ) = 2 . xf ( x ) = u( x ) + v ( x ) ⇒ f '( x ) = u'( x ) + v'( x )

lim∆x → 0

(u( x + ∆x ) + v( x + ∆x )) − (u( x ) + v( x )) = lim u( x + ∆x ) + v( x + ∆x ) − u( x ) − v( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x
∆x

lim∆x→0

u( x + ∆x ) − u( x ) + v ( x + ∆x ) − v ( x )
u( x + ∆x ) − u( x )
v ( x + ∆x ) − v ( x )
= lim∆x→0
+ lim∆x→0
= u'( x ) + v'( x )
∆x
∆x
∆x

•Derivada de la resta:

lim∆x → 0

lim∆x → 0

f ( x ) = u( x ) − v ( x ) ⇒ f '( x ) = u'( x ) − v'( x )

(u( x + ∆x ) − v( x + ∆x )) − (u( x ) − v( x )) = lim u( x + ∆x ) − v( x + ∆x ) − u( x ) + v( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x
∆x
u( x + ∆x ) − u( x ) − (v ( x + ∆x ) − v ( x ))
∆x

= lim∆x → 0

º

u( x + ∆x ) − u( x )
v ( x + ∆x ) − v ( x )
− lim∆x → 0
=u'( x ) − v'( x )
∆x
∆x

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Apunte Nro 0028
•Regla de la cadena:

.
lim∆x→0

[ f ( g( x ))]

′

= f ' ( g ( x )). g'( x )

f [ g ( x + ∆x )] − f [ g ( x )]
f [ g ( x + ∆x )] − f [ g ( x )] g ( x + ∆x ) − g ( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim∆x→0
= lim∆x→0
.
∆x
∆x
∆x
g ( x + ∆x ) − g ( x )

f [ g ( x + ∆x )] − f [ g ( x )] g ( x + ∆x ) − g ( x )
. lim
.
= f ′[ g ( x )]. g '( x )
∆x → 0
∆x
g ( x + ∆x ) − g ( x )• Derivada de logaritmo natural de x:

f ( x ) = ln( x )

Vamos a usar las siguientes propiedades del logaritmo:

 A

 B

1) ln( A ) − ln( B ) = ln
2) B .ln( A )

= ln( A B )
x

1

3) limx → 0  1 +  = e

x
4) ln( e ) = 1
1

x 
 x + ∆x 

 ∆x
ln
ln + 1


 ∆x 
 ∆x 
x
ln( x + ∆x) − ln( x)
1
1
= lim∆x→0 .ln1 +  = lim∆x→0 ln1 +  =lim∆x→0
= lim∆x→0
= lim∆x→0
∆x
∆x
∆x
∆x  ∆x 
 ∆x 

x




1

= lim∆x → 0 ln1 +
∆x 




x

1 x ∆x
∆x ∆x x

1 ∆x
x

∆x ∆x


x



1


= lim∆x → 0 ln1 +
∆x  



x 




º

1

x

x

 ∆x 

1

1 
1
1

  = ln e x = ln( e ) =
= ln lim∆x → 0 1 +
∆x 
x
x






x
...