derivadas

Universidad de Puerto Rico-R´ Piedras
ıo
Instituto de ESTA y SICI
MECU 3032\ DERIVADAS
M. Hern´ndez Viera
a
***Es recomendable que lea estas notas simulando mi voz.***
Como recordar´n, el concepto de derivada fue el ultimo que se cubri´ para el examen. La
a
´
o
derivada es solamente el nombre que se le da a la pendiente de la recta tangente a la curva
y = f (x) en un punto (x, y).Gracias a Newton tenemos la notaci´n
o
f (x) = y
y a Leibniz le debemos,
dy
df
=
.
dx
dx
Lo importante es recordar que todas las notaciones representan lo mismo y que
independientemente la que utlicemos, la definici´n es la misma:
o
Sea f una funci´n definida en un intervalo que contiene a x, la derivada de f con respecto
o
a x est´ dada por:
a
f (x + h) − f (x)
h→0
h

f (x) = limasumiendo que este l´
ımite existe. Veamos algunos ejemplos usando esta definici´n.
o
1. f (x) = 5 entonces
f (x) = lim

h→0

5−5
0
= lim = 0.
h→0 h
h

2. f (x) = x entonces
(x + h) − x
h
= lim = 1.
h→0
h→0 h
h

f (x) = lim
3. f (x) = 5x entonces
f (x) = lim

h→0

5(x + h) − 5x
5x + 5h − 5x
5h
= lim
= lim
= 5.
h→0
h→0 h
h
h

4. f (x) = x2 entonces
(x + h)2− x2
(x2 + 2xh + h2 ) − x2
2xh + h2
= lim
= lim
= lim 2x + h = 2x.
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
h

f (x) = lim

¿Alguna conjetura para la f´rmula general de la derivada de una potencia?
o
1

Bueno, conjetura o no creo que todos coincidimos en que esto de tener que utilizar la
definici´n de la derivada cada vez que necesitemos la derivada es bien tedioso. As´ que
o
ı
aplicaremos ladefinici´n una ultima vez para obtener una f´rmula que funciona para
o
´
o
cualquier funci´n de la forma xn . Para efectos de la prueba, se asume que la n es natural
o
pero esta hermosa f´rmula funciona para cualquier n´mero real... ¡Observen y as´mbrense!!
o
u
o
Sea f (x) = xn . Entonces,
f (x + h) − f (x)
h→0
h

f (x) = lim

(x + h)n − xn
h→0
h

= lim
El Teorema del Binomionos dice que,
(x + h)n =

n n 0
n n−1 1
n n−2 2
n
n 0 n
x h +
x h +
x h + ··· +
x1 hn−1 +
xh
0
1
2
n−1
n
= xn + nxn−1 h +
= xn + h(nxn−1 +

n n−2 2
n
x h + ··· +
x1 hn−1 + hn
2
n−1
n n−2
n
x h + ··· +
x1 hn−2 + hn−1 )
2
n−1

No se asusten que esto fue solo para demostrar que,
f (x + h) − f (x)
h→0
h

f (x) = lim

(x + h)n − xn
= lim
h→0
h
= lim

xn +h(nxn−1 +

h→0
n−1

= lim

h
ƒ(nx

h→0

= lim nx

n−1

h→0

+

n
2

n
2

xn−2 h + · · · +
h

xn−2 h + · · · +
h
ƒ

n
n−1

n
n−1

x1 hn−2 + hn−1 ) − xn

x1 hn−2 + hn−1 )

B0
X
$0
n ¨¨¨
n
B
¨0
$$
n−2
+
x h + · · · + $$$$$hn−2 + ¨n−1
x1
h¨
¨
$n − 1
2
¨¨

= nxn−1 .

2

As´ que,
ı
d n
x = nxn−1
dx

(1)

***ESTA FORMULA USTED SELA APRENDE***
En otras palabras, para determinar la derivada de xn solo “bajamos” el exponente y lo
multiplicamos por x elevado al exponente menos 1. Una f´rmula m´s antes de hacer un par
o
a
de ejemplos.
d
d
cf (x) = c f (x)
dx
dx

(2)

En otras palabras uno saca la constante y le computa la derivada a la funci´n. Esto es bien
o
f´cil de demostrar utilizando la definici´n de laderivada.
a
o
Ejemplos: Usando las f´rmulas
o
1. f (x) = x2 aqu´ n = 2 as´ que
ı
ı
f (x) = 2x2−1 = 2x.
Tal y como hab´
ıamos visto anteriormente.
2. f (x) = x aqu´ n = 1 as´ que
ı
ı
f (x) = 1x1−1 = 1.
Tal y como hab´
ıamos visto anteriormente.
3. f (x) = 5 para efectos de aplicar la f´rmula, vemos f (x) = 5 = 5x0 y entonces n = 0
o
as´ que
ı
f (x) = 0x0−1 = 0.
Esto es cierto engeneral. La derivada de cualquier constante es 0, como hab´
ıamos
visto anteriormente.
d
4. f (x) = 5x usando (2) tenemos que f (x) = 5 dx x = 5(1x1−1 ) = 5.

5. f (x) = 20x100 usando (2) tenemos que
d
f (x) = 20 x100 = 20(100x100−1 ) = 20000x99 .
dx

3

Otra f´rmula util es,
o
´
d
d
d
(f (x) ± g(x)) =
f (x) ± g(x)
dx
dx
dx

(3)

En otras palabras, la derivada de una...