derivadas

Multi-4
Definiciones:
Vector gradiente:
Es el campo vectorial (distribución espacial de una magnitud vectorial) de un campo escalar (distribución escalar de un punto con respecto a un punto en el espacio) e indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado.
Ángulo entre dos vectores:
El ángulo entre dos vectores se define como el ángulo que forman sus rectas deacción que coinciden en un punto.

Derivada direccional:
 Representa la tasa de cambio de la función en la dirección de un vector determinado. La derivada direccional de f en  en la dirección de un vector unitario u= <a,b> es:

Responder 1as siguientes preguntas:
¿De qué manera se obtiene el vector gradiente de una función?
Hallar las primeras derivadas.
Reemplazar lascoordenadas de P en todas las primeras derivadas.
Tomar los datos de cada uno respectivamente y armar el vector (x,y,z).
3. ¿Geométricamente qué significa la derivada direccional de una función en un punto y en una dirección dadas?
Si la función puede tener un plano tangente en un punto p de su dominio, todas las derivadas direccionales por este punto se encuentran sobre el plano tangente.

5. ¿Cuándouna función de varias variables tiene una razón de cambio igual a cero y en qué dirección?
Cuando ninguna de las variables cambia en función a otra tiene una razón de cambio de cero, quiere decir que ninguna de las variables tienen relación entre si.
7. ¿Qué característica debe cumplir el vector respecto al cual se va a determinar la derivada direccional?
Si   es una función escalar y  y unvector unitario.
EJERCICIOS
Determinar la derivada direccional de la función en la dirección dada y el punto indicado.

Solución
Ejercicio1
%derivadas parciales
syms x y
f = x^3*y^2*cos(sqrt(x*y^2))
fx = diff(f,x)
fy = diff(f,y)
gx = inline('3*x^2*y^2*cos((x*y^2)^(1/2)) - (x^3*y^4*sin((x*y^2)^(1/2)))/(2*(x*y^2)^(1/2))')
gx(2,-2)
Ans x = -52.6363

Gy =inline('2*x^3*y*cos((x*y^2)^(1/2)) - (x^4*y^3*sin((x*y^2)^(1/2)))/(x*y^2)^(1/2)')
gy (2,-2)
ans y = 44.3854

%vector gradiente = <-52.6363i,44.3854j>
syms Q P
x=1-2
y=-1+2
PQ=x,yPQU=sqrt(x^2+y^2)
xu=(x/PQU)
yu=(y/PQU)
Vector_unitario= xu,yu%vector unitario <-0.7071i,0.7071j>

%Derivada direccional
syms di dj DD
di = ansx*xudn = ansy*yuDdir = di+dn%la derivada direccional es 68.6047
%ejercicio 2%derivadas parciales
syms x y z
f = log(x+2*x*y^2)+2*x*y*z^2
fx = diff(f,x)
fy = diff(f,y)
fz = diff(f,z)

Gx = inline('2*y*z^2 + (2*y^2 + 1)/(2*x*y^2 + x)')
gx(-1,2,-2)
ans x = 15

gy = inline('2*x*z^2 + (4*x*y)/(2*x*y^2 + x)')
gy(-1,2,-2)
ans y = -7.1111

gz=inline('4*x*y*z')
gz(-1,2,-2)
ans z = 16

%vector gradiente es = <15,-7.1111,16>

syms Q P
x=2+1
y=-2-2z=1+2
PQ=x,y,zPQU=sqrt(x^2+y^2+z^2)
xu=(x/PQU)
yu=(y/PQU)
zu=(z/PQU)
Vector_unitario= xu,yu,zu%vector unitario <0.5145i,-0.6860j,0.5145k>

%Derivadadireccional=<15i,-7.1111j,16k>*<0.5145i,-0.6860j,0.5145k>
syms di dj DD
di=ansx* xudj=ansy* yudz=ansz* zuDD=di+dj+dz%la derivada direccional es 20.8275
%ejercicio3
%derivadas parciales
syms x y
f = x^3*exp(x^2+y^3)
fx= diff(f,x)
fy = diff(f,y)
Gx = inline('3*x^2*exp(x^2 + y^3) + 2*x^4*exp(x^2 + y^3)')
gx(1,2)
ans x = 4.0515e+04

gy=inline('3*x^3*y^2*exp(x^2 + y^3)')
gy(1,2)
ans y = 9.7237e+04

%vector gradiente = <4.0515e+04i,9.7237e+04j>
syms Q P
x=-3-1
y=2-2
PQ=x,yPQU=sqrt(i^2+j^2)
xu=(i/PQU)
yu=(j/PQU)
Vector_unitario= xu,yu%vector unitario <-1i,0j>

%Derivadadireccional=<4.0515e+04i,9.7237e+04j>*<-1i,0j>
syms di dj DD
dx=ansx*xudy=ansy*yuDD=dx+dy%la derivada direccional es -40515
PROBLEMAS
1.



2.




3.




Laboratorio 2
(Mult_5)
1. Definir:
a. Valor máximo y valor mínimo: son los extremos de las funciones en el eje “y”, quiere decir que son los valores más grandes (máximos) y más pequeños (mínimos) en una función....