Derivadas

UNIDAD 10

DERIVADAS. TÉCNICAS DE
DERIVACIÓN

P ágina 274
Problema 1
y = f (x )

5
3

–5

3

9

14

Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f ' (3), f ' (9) y f ' (14).
f ' (3) = 0; f ' (9) =

–3
; f ' (14) = 1
4

Di otros tres puntos en los que la derivada sea positiva.
La derivada también es positiva en x = –4, x = –2, x = 0…
Di otro punto en el que laderivada sea cero.
La derivada también es cero en x = 11.
Di otros dos puntos en los que la derivada sea negativa.
La derivada también es negativa en x = 4, x = 5…
Di un intervalo [ a, b ] en el que se cumpla que “si x ∈ [ a, b ], entonces
f' (x) > 0”.
Por ejemplo, en el intervalo [–5, 2] se cumple que, si x ∈ [–5, 2], entonces f ' (x) > 0.
Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

1Problema 2
Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es
una función cuyo comportamiento responde al de la derivada de f (x).

y = f (x )

b
a

• En el intervalo (a, b), f (x) es
decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le
pasa a g (x) en (a, b).
y = g (x ) = f ' (x )

• La derivada de f en b es 0:
f' (b) = 0. Y también es g (b) = 0.

b
a

• Engeneral:
g (x) = f ' (x) = 0 donde f (x)
tiene tangente horizontal.
g (x) = f ' (x) > 0 donde f (x) es creciente.

g (x) = f ' (x) < 0 donde f (x) es decreciente.

Página 275

1

A

2

B

3

C

Problema 3
¿Cuál es la derivada de cada
cual?
Justifica tus respuestas con
argumentos análogos a los
que utilizaste en el problema
anterior.
1) B
2) A
3) C
La derivada se anula enlos
puntos de tangente horizontal,
es positiva donde la función es
creciente, y es negativa donde
la función decrece.

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

2

Invéntate una gráfica sencilla y trata de esbozar la gráfica de su función derivada.
f (x)

Por ejemplo:

f ' (x)

2

2

Página 281
1. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
1–x
1–xa) f (x) =
b) f (x) =
1+x
1+x

√

e) f (x) =

1 – tg x
1 + tg x

1–x
1+x

d) f (x) =

1 – tg x
1 + tg x

f ) f (x) = ln √ e tg x

c) f (x) = ln

√

g) f (x) = √ 3x + 1

h) f (x) = log (sen x · cos x)2

i ) f (x) = sen2 x + cos2 x + x

j ) f (x) = sen √ x + 1 · cos √ x – 1

k) f (x) = arc sen √ x

l) f (x) = sen (3x5 – 2 √ x + √ 2x )

m) f (x) = √ sen x + x2 + 1n) f (x) = cos2 √ x + (3 – x)2

3

3

–2
a) f' (x) = –1 · (1 + x) – (1 – x) · 1 = –1 – x – 1 + x =
(1 + x) 2
(1 + x) 2
(1 + x) 2
b) Utilizamos el resultado obtenido en a):
f' (x) =
2

√

–1
1
–2
·
=
2
(1 + x)
√ (1 – x)(1 + x) 3
1–x
1+x

c) Utilizamos el resultado obtenido en a):
f' (x) =

1
–2
–2(1 + x)
·
=
= –2
1 – x (1 + x) 2
(1 – x)(1 + x) 2
1 – x21+x

De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente:
f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos:
f' (x) =

–1
1
–
= –1 – x – 1 + x = –2
1–x
1+x
1 – x2
1 – x2

Unidad 10. Derivadas. Técnicas de derivación

3

2
2
d) f' (x) = – (1 + tg x)(1 + tg x) – (1 – tg x) · (1 + tg x) =
(1 + tg x) 2
2
2
= (1 + tg x)[–1 – tg x – 1 + tg x] = – 2(1 + tg x)
(1 + tg x) 2
(1 + tg x) 2De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a):
f' (x) =

2
–2
–2
· D [tg x] =
· (1 + tg 2 x) = – 2(1 + tg x)
2
2
(1 + tg x) 2
(1 + tg x)
(1 + tg x)

e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d):
f' (x) =
2

√

2
– (1 + tg 2 x)
1
· – 2(1 + tg x) =
2
(1 + tg x)
1 – tg x
√ (1 – tg x)(1 + tg x) 3
1 + tg x

También podríamos haber llegado a este resultadoutilizando lo obtenido en b).
tg x
f) f (x) = ln √ e tg x = ln e (tg x) / 2 =
2
2
f ' (x) = 1 + tg x
2

g) f (x) = √ 3 x + 1 = 3 (x + 1) / 2
f' (x) = 3 (x + 1) / 2 ·

1
ln 3 √ 3 x + 1
· ln 3 =
·
2
2

h) f (x) = log (sen x · cos x)2 = 2 [log (sen x + log (cos x)]
f' (x) = 2

=

[

]

2
2
cos x
1
–sen x
1
2
·
+
·
=
· cos x – sen x =
sen x ln 10
cos x
ln 10
ln...