Descomposici N En Parciales

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Fracciones Parciales

Adolfo Chapuz Benítez.

Adolfo Chapuz Benítez Presenta:
MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES.

Contenido:
π

Introducción

π

3 tipos generales de descomposición

π

Ejemplos de Descomposición: caso I

π

Ejemplos de Descomposición: caso II

π

Ejemplos de Descomposición: caso III

1

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π

Fracciones Parciales

Adolfo ChapuzBenítez.

Introducción
En esta sección vamos a entender que significa DESCOMPONER EN
FRACCIONES PARCIALES.
IDEA: Consiste en desmenuzar, descomponer, desintegrar, partir una fracción
en partes más simples (fáciles de utilizar).
Por ejemplo:

5
5
1 1

 
6 (2)(3) 2 3

OBSERVACIÓN: El numerador es MENOR que el denominador (fracción impropia).
Pregunta: ¿Cómo se puede descomponer en fracciones mássimples

3
?
8

IDEA: Primero debemos descomponer (factorizar) el denominador 8.

8  (4)(2)
 (8)(1)  ...
3
3
A B 2 A  4B

  
8 (4)(2) 4 2
8

2

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3 2 A  4B

8
8

3  2 A  4B

Podriamos tomar A=-1/2 y B=1, y concluir que :

1
3
2  1  1  1

8
4
2
8 2

Muy bien!
La descomposición en fracciones Parciales (FP)sólo se aplica a funciones
RACIONALES

P( x)
Q ( x) en donde P(x) y Q(x) son polinomios en la variable x,

tales que:

grado de P( x)  grado de Q( x) .

3

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Ejemplos de integrales en las que se puede aplicar la descomposición:

1
dx
x 2  4x  3
5x  7
2. 2
dx
x  10 x  9
 x 1
3. 3
dx
x  4 x 2  3x
x 1
4. 2
dx
x x
3x 2
5.
dx
( x  2)( x  4) 2

1.

IDEA DEL MÉTODO: La idea consiste en DESCOMPONER toda la fracción en
fracciones más simples (parciales) que sean fáciles de integrar.

PROCEDIMIENTO:
1.- Verificar que el grado del Numerador sea MENOR que el denominador.
2.-Factorizar el denominador en factores de tipo lineal y/o cuadrático IRREDUCIBLE
(más adelante te explico que es eso).
3.-Realizar ladescomposición en fracciones más sencillas, esto va a depender de la
factorización hecha anteriormente. Esto implica encontrar ciertas constantes A, B,
C,etc. dependiendo de cuantos factores hayan.
4.-Sustituir la descomposición en la integral
π

3 Tipos generales de descomposición

5-Calcular cada integral (muy simple) resultante.

4

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π 3 tipos generales de descomposición

Caso I: El denominador se puede descomponer en factores lineales diferentes.
a).El Denominador contiene un término de grado cero, en este caso es la constante 1.
Lo importante aquí es la factorización del denominador:

1
A
B


( x  3)( x  1) x  3 x  1
La descomposición consiste en escribir la fracción original como fracciones más sencillas.
Cadafracción parcial se genera escribiendo una constante (desconocida, por el momento) y
dividendo entre el factor correspondiente.

Ojo: El objetivo consiste en encontrar A y B.
b). Aquí el denominador es un poquito más elaborado, contiene un término lineal. Pero la
descomposición es igual de simple, una fracción para cada factor.

5x  7
A
B


( x  9)( x  1) x  9 x  1
c).En este ejemplo tenemosque el denominador tiene 3 factores lineales, por lo que se
agrega un término mas, el que contiene la constante C.

 x 1
A
B
C
 

x( x  1)( x  3) x x  1 x  3
Notemos igualmente que el numerador –x+1 no contribuye en nada a la descomposición
del lado derecho, sólo se escriben las constances A,B y C.

5

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d).En esteejemplo podemos observar que en el numerador tenemos un término cuadrático
y que esto no modifica la forma en que se hace la descomposición.
Tenemos 3 fracciones parciales (porque son 3 factores) y 3 constantes A,B y C.

4x 2  5
A
B
C



(3x  1)(2 x  6)(6 x  2) 3x  1 2 x  6 6 x  2
Caso II: El denominador se puede descomponer en factores lineales IGUALES.
Que haya factores repetidos...