Desigualdades De Sheviche

| REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA |
| MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA |
| UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA |
| DE LA FUERZA ARMADA |
| UNEFA – NÚCLEO NUEVA ESPARTA |

Realizado por:
Prof. Rafael Rangel TRIVIÑO, Eligio C.I.: 20011660
3-4426-01M


Junio de 2011

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV.
La desigualdad deChebyshev es un resultado estadístico que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática o de su media; equivalentemente, el teorema proporciona una cota superior a la probabilidad de que los valores caigan fuera de esa distancia respecto de la media. El teorema es aplicable incluso endistribuciones que no tienen forma de "curva de campana" y acota la cantidad de datos que están o no en medio.
Supongamos que tenemos una determinada función de distribución F, y supongamos además que esta función de distribución tiene asociada una función de densidad (aunque no es estrictamente necesaria esta condición), es decir probaremos la desigualdad de Chebyshev para el caso especial en quela ley de probabilidad es continua con función de densidad f.
La desigualdad de Chebyshev establece que si tenemos una ley de probabilidad con media finita  y varianza finita 2, entonces:

Definamos la cantidad Q (h) por:

La expresión (1), al introducir la función de densidad, se puede denotar por:

Para demostrar (2) recordemos la definición de la varianza, esto es:De modo que se obtiene la siguiente desigualdad:

Ahora bien, en el caso de la primera integral, la estamos efectuando en el dominio de x < m - hs, y en este caso se cumple la desigualdad (x - m)2 > h2s2. De manera similar, la segunda integral la estamos efectuando en el dominio x > m+- hs, y en este caso también se cumple la desigualdad (x - m)2 > h2s2. De modo que sisustituimos la cantidad (x - m)2 por estas cotas inferiores en ambas integrales, obtenemos que

Podemos observar que la suma de las dos integrales en (3) es simplemente 1 - Q(h). De modo que hemos demostrado que

Es decir:

Que es exactamente la expresión (1).
Los resultados de esta desigualdad son sorprendentes, y muestran con mayor vehemencia el papel que juega ladispersión . En efecto, supongamos que tenemos una variable aleatoria X con media y varianza finita, entonces la expresión (1) es equivalente a:

Y esta expresión indica que hay una probabilidad superior al 75% de que un valor observado de X caiga dentro de dos desviaciones estándar de la media. Para esto basta hacer h = 2. De manera análoga, con probabilidad superior al 15/16 = 0.9375 un valorobservado de X caerá dentro de cuatro desviaciones estándar de la media, para esto basta hacer h = 4.
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS.
La Ley de Los Grandes Números, descubierta por el matemático Simeón Denis Poisson, a principios del siglo XIX, se engloba varios teoremas que describen el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos.Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.
Las leyes de los grandes números explican porqué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.
Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor...