desviacion estandar

Desviación estándar o Típica
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto suecuación sería:
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EJEMPLO
1.-El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.
Por lo que su media es:
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Con loque concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuanto es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.
La varianza se define comoNótese que la varianza tiene las unidades que tiene los datos al cuadrado. Sin embargo, si obtenemos la raíz cuadrada positiva tendremos




Éste último se conoce como desviación estándar. Debido a que la desviación estándar tiene las mismas unidades que la media, la desviación estándar es más utilizada que la varianza.



Esta notación de se utiliza para denotar la media y ladesviación estándar de una muestra, sin embargo, si la muestra es toda la población se utilizara , para la media y desviación estándar de una población. Estas dos medidas junto con la media, seguramente, son las más utilizadas en todo análisis estadístico.



Otra expresión útil de ver la desviación varianza es encuentra en el siguiente teorema.



Teorema. Se dice que la varianza se puedeexpresar como:




Demostración.

A partir de la definición de la varianza tenemos:


Un teorema que nos permite cambiar de una variable a otra variable lineal es el siguiente.



Teorema 2. Si entonces la desviación estándar .



Demostración.

La desviación estándar para la variable y es dada por


como entonces , por consiguiente






el resultadoanterior nos muestra que si un valor es trasladado una cantidad no tiene por que aumentar, como se observa en el hecho de realizar el cambio a sin embargo, al multiplicar por a, es decir, las características de la concentración de datos se modificara de pendiendo de a, por ejemplo, si a1 la concentración de datos tendera a dispersarse, es decir, tendrá una mayor varianza.



Una de lainterrogantes es como saber si el considerar la suma de los cuadrados de la diferencia con respecto a al media es mínima, es decir, no existe otro parámetro, r, que cumpla lo cual es formulado en el siguiente teorema presentando su respectiva demostración



Teorema. La relación considerada para la desviación estándar es mínima, es decir no existe otro parámetro diferente a al media para el cualla suma de los cuadrados sea mínima.



Demostración.



Considérese la diferencia

elevemos al cuadrado lo que nos conduce a la relación


considerando la sumatoria
tenemos


consideremos que en la segunda sumatoria es una constante y que , pero que además es constante por lo que, suponiendo que la suma es con respecto a n datos tendremos:




recordamos además elsiguiente teorema
entonces tendremos:


como todas las sumas son positivas por tratarse de suma de cuadrados entonces




lo que demuestra el teorema.

Esta generalidad de las desviaciones queda expresada como una propiedad propia de la desviación típica






donde a expresa cualquier promedio aritmético, sin embargo, en el caso en que dicho promedio es la media, como se...