diagonalizacion

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Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
Introducción. Potencia de una matriz
 2 1
 . Supongamos que se desea calcular A n : → →
Sea A = 
2
3


 2 1  2 1   6 5 

 = 

A 2 = 
 2 3  2 3  10 11
2
A3 = 
2
2
A 4 = 
2

1  6

3 10
1  22

3  42

5   22 21 
=

11  42 43 
21  86 85 
=

43  170171

Determinar una regla para A n no resulta inmediato.
1 1 
 y
Comprobemos, antes de seguir adelante, que A = MDM −1 , siendo M = 
 2 − 1
 4 0
 → Esta última matriz es diagonal.
D = 
0 1
1  − 1 − 1
 y multiplicando, se ve que:
En efecto, calculando M −1 = − 
3  − 2 1 

 1 1  4 0   1  − 1 − 1
1  − 6 − 3  2 1

 − 
 = − 
== A
MDM −1 = 
3  − 6 − 9   2 3 
 2 − 1 0 1   3  − 2 1 
Con esto:
A 2 = MDM −1 · MDM −1 = MD 2 M −1 → obsérvese que M −1 ·M = I

(
)(
= (MDM )(
· MD

)

)

−1
2
A3
M −1 = MD 3 M −1
…
A n = MD n M −1 ⇒
 1 1  4 n 0   1  − 1 − 1
− 4n + 1 
1  − 4n − 2
 − 




⇒ A n = 
 = − 3 
n
n
n

−
2
·
4
+
2
−
2
·
4
−
1
 2 −1 0 1   3  − 2 1 



Se consigue así calcular A n .
El problema está en encontrar M y D.
El proceso que nos facilitará determinar las matrices M y D, que permitirán hallar la potencia
n−ésima de una matriz, se llama diagonalización.

José María Martínez Mediano

2

Autovalores y autovectores

Definición de autovalor: λ ∈ R (o a C, aunque no lo consideraremos) es unautovalor de
r r
r
r
s
una matriz A, cuadrada, n × n, si existe un vector x ∈ Rn (a En), x ≠ 0 , tal que Ax = λx .
r
• A x se le llama autovector asociado a λ.
También se utilizan los nombres valor propio y vector propio, respectivamente, para autovalor
y autovector.
•

Observaciones:
r
r
r
r
r
r
r
1. Si Ax = λx ⇒ A 2 x = λAx = λ2 x ⇒ … A n x = λn x .
r
Por tanto, para determinarcómo actúa A n resulta útil conocer λ y x , pues el estudio de λn es
mucho más sencillo.
r
r
2. Si x es un autovector asociado a λ, entonces kx es otro autovector asociado a λ.
r
r
r
r
r
s
En efecto: si Ax = λx ⇒ A(kx ) = k ( Ax ) = k (λx ) = λ(kx ) .

 2 1
r 1
 , λ = 4 es un autovalor si x =   .
Ejemplo: Si A = 
 2 3
 2
 2 1  1   4 
1
  =   =4· 
En efecto: 
 2 3  2   8 
 2
1  −1 r
 1  3
r
Otros autovectores asociados a λ = 4 son x = −1·  =   o x = 3·  =   .
 2  − 2
 2  6
(Habitualmente se toma el más sencillo, el correspondiente a k = 1.)
Cálculo de autovalores. Ecuación característica.

r
s
r
s r
s r
De Ax = λx ⇒ Ax − λx = 0 ⇒ ( A − λI )x = 0 → sistema homogéneo, que tienesolución
r r
distinta de la trivial (se buscan x ≠ 0 ) cuando A − λI = 0 .

•

s r
Es sistema ( A − λI )x = 0 recibe el nombre de autosistema.
A A − λI = 0 se le llama ecuación característica.

•

P(λ) = A − λI es un polinomio de grado n → se llama polinomio característico.

•

•

•

•

•

Las soluciones de A − λI = 0 , de P(λ) = A − λI = 0 , son los valores propios(autovalores) de la matriz A.
a11 − λ
a12
...a1n
a 21
a 22 − λ.
...a 2 n
Si la matriz A es de orden n, P(λ) = A − λI =
=0
...
... ...
...
a n1
an 2
...a nn − λ
Los autovalores no tienen porqué ser distintos. El número de veces que se repite un
autovalor es su multiplicidad algebraica.
r
s r
Si λ es un autovalor de A, una solución no trivial, x , de ( A − λI )x = 0 es un autovectorasociado a ese λ.

José María Martínez Mediano

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2−λ
1
 2 1
 ⇒ A − λI =
Ejemplo: Si A = 
= λ2 − 5λ + 4 = (λ − 4)(λ − 1)
2
3−λ
 2 3
Los autovalores son: λ = 4 y λ = 1.
1  x1   0 
 2 1  x1 
x 
2 − 4
 − 2 1  x1   0 

  = 4 1  ⇔ 
  =   ⇔ 
  =  
• Si λ = 4:
3 − 4  x 2   0 
 2 3  x 2 
 2
 2 −...