Diagonalizacion

Diagonalización

DIAGONALIZACIÓN
Autores: Juan Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu) Cristina Steegmann Pascual
(csteegmann@uoc.edu)

ESQUEMA DE CONTENIDOS

________________________

Diagonalización
de Endomorfismos y
Matrices

Diagonalización
usando Mathcad

INTRODUCCIÓN

Conceptos
fundamentales
y
ejemplos

Matriz asociada,
matriz de cambio
de base

___________________

En estemath-block, como su título indica, se estudia el problema de la diagonalización de
endomorfismos y matrices. Dicho estudio está estrechamente vinculado a los conceptos de matriz
asociada a una aplicación lineal y matriz de cambio de base; es por ello que dedicamos la primera
sección al análisis de las relaciones existentes entre estas matrices. En la segunda sección
analizamos el problema de ladiagonalización de endomorfismos y matrices y presentamos los
resultados necesarios para el estudio de dicho problema. Los ejemplos ilustrativos de los principales
resultados presentados en el math-block están agrupados en la cuarta sección. Por último,
presentamos la diagonalización de algunas matrices utilizando el programa Mathcad como
herramienta de cálculo.

OBJETIVOS
•
•
•
•________________________

Conocer la relación existente entre las matrices asociadas a una misma aplicación lineal en
diferentes bases.
Conocer el método de cálculo de los valores y vectores propios de un endomorfismo (matriz)
Saber determinar si un endomorfismo (matriz) es diagonalizable.
Saber determinar una base propia y la matriz diagonal de un endomorfismo diagonalizable.

Proyecto e-Math
Financiado por laSecretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Diagonalización
•

Mostrar las posibilidades que brinda el programa Mathcad para el estudio de la
diagonalización de endomorfismos y matrices.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

___________________________________

Es recomendable haber leído, previamente, los math-blocks relativos a:
•

Álgebra de matrices.

•

Determinantes.

•

Sistemas deecuaciones lineales.

•

Aplicaciones lineales.

•

Espacios vectoriales.

• Además, recomendamos los introductorios a Mathcad.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES
‰

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Matriz asociada a una aplicación lineal

Sea

f una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita:
f : En → Em

x → f ( x)
Sean A = ( a1 , a 2 ,..., a n ) y B = (b1 , b2 ,..., bm ) bases de E n y Em respectivamente. Llamamos
matriz asociada a f en las bases A y B a la matriz (α ij ) ∈ M m×n cuyos elementos α ij son la
coordenada

i del vector f (a j ) en la base B. Denotamos esta matriz por M [ f , A, B ].

 α1 j 


Es decir, si f ( a j ) =   , entonces f ( a j ) es la columna j de la matriz M [ f , A, B ].
α 
 mj 
f : R 3 → R 2 definida por
f ( x, y , z ) = ( 2 x + y , y + z )Vamos a calcular la matriz asociada a f en las bases canónicas. En este caso la matriz asociada
Consideremos la siguiente aplicación lineal

se obtiene calculando la imagen de los vectores de la base del espacio de partida y poniéndolas
en columnas:

f (1,0,0) = (2,0);
f (0,1,0) = (1,1);
f (0,0,1) = (0,1).

Entonces, la matriz asociada es

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado deEducación y Universidades (MECD)

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Diagonalización

 2 1 0

M [ f , C 3 , C 2 ] = 
 0 1 1
Nótese que la matriz asociada actúa como la aplicación lineal de la siguiente forma:

 x
 2 1 0  
 y  = (2 x + y, y + z ).
f ( x, y, z ) = 
 0 1 1  z 
 

Esto quiere decir que podemos estudiar la aplicación lineal a partir de su matriz asociada.
Naturalmente, si cambiamos lasbases obtenemos otra matriz asociada.

Consideremos ahora la aplicación lineal de antes y las bases

A((1,0,0), (1,−1,0), (0,0,1) ) y

B = ((2,0), (1,−1) ) de R y R respectivamente. Vamos a determinar la matriz M [ f , A, B ].
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Las imágenes de los vectores de la base de partida son:

f (1,0,0) = (2,0);
f (1,−1,0) = (1,−1);
f (0,0,1) = (0,1).
La matriz de cambio de base de

B a la canónica es
2...