Diagonalización De Tl

Álgebra II –2° Cuatr. 2011

Diagonalización de T.L.

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Considere la siguiente transformación lineal (es sencillo comprobar que lo es):

T : P2 [ x] → P2 [ x] / T ( p) = 6 p( x) + ( x + 1) p' ( x) siendo P2 [ x] el espacio vectorial de los
polinomios con coeficientes reales, de grado menor o igual que 2, o el polinomio nulo. Analice si T es diagonalizable y en caso afirmativoencuentre la base de autovectores correspondiente.

La transformación T será diagonalizable si podemos hallar una base del espacio

P2 [ x] formada por autovectores de T , es decir por polinomios de grado menor o
igual que 2 que verifiquen T ( p) = λ. p para algún número real λ (buscamos λ real pues los polinomios los consideramos con coeficientes reales). Para encontrar los autovalores yautovectores podemos proceder de dos maneras: empleando las definiciones de autovalor y autovector, y la definición de la transformación lineal T , o bien recurriendo a la expresión matricial de la T.L. en una base cualquiera de P2 [ x] Procederemos de las dos maneras, para ilustrar la forma de hacerlo, y veremos que se obtiene el mismo resultado de ambos modos. a) Deseamos hallar polinomios de gradomenor o igual que 2 que verifiquen

T ( p) = λ. p para algún número real λ , es decir, queremos hallar
p ∈ P2 [ x] con p ≠ 0 / 6 p( x) + ( x + 1) p ' ( x) = λp( x)
para algún número real λ. Observemos que 6 p ( x) + ( x + 1) p ' ( x) = λp ( x) es una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden en p (x) :
( x + 1) p ' ( x) + (6 − λ ) p ( x) = 0

que para x ≠ −1 es equivalente a
p' (x) + 6−λ p( x) = 0 x +1

Multiplicando por el factor integrante e

∫ x +1 dx

6 −λ

= e ( 6−λ ) ln( x +1) = (x + 1) 6−λ se tiene

( x + 1) 6−λ p ' ( x) + (6 − λ )( x + 1) 5−λ p ( x) = [( x + 1) 6−λ p ( x)] ' = 0

Álgebra II –2° Cuatr. 2011 es decir

Diagonalización de T.L.

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( x + 1) 6−λ p ( x) = C y por lo tanto p ( x) = C ( x + 1) λ −6 Esto significa que losautovectores serán los polinomios no nulos de la forma p ( x) = C ( x + 1) λ −6 que pertenezcan a P2 [ x] . C ( x + 1) λ −6 es un polinomio de grado 2 únicamente si

λ es 8, 7 ó 6. Eso

significa que existe tres autovalores diferentes: λ1 = 8 , λ2 = 7 y λ3 = 8 , por lo que la transformación es diagonalizable, y los correspondientes espacios propios, o autoespacios, que quedan invariantes por T , sonS λ =8 = gen ( x + 1) 2 , S λ =7 = gen{x + 1} y S λ =6 = gen{ } . 1

{

}

La “forma diagonal” de la transformación podemos expresarla definiendo T sobre la base de autovectores:
T [( x + 1) 2 ] = 8( x + 1) 2   T [( x + 1)] = 7( x + 1)  T [1] = 6 

b) Trabajemos ahora con la expresión matricial. Podemos hacerlo pues:
•

T es diagonalizable si y sólo si lo es la matriz de T en unabase del
cualquiera del espacio.

Si para una base B del espacio, la matriz

[T ]B

es diagonalizable, lo será

también la matriz [T ]C en cualquier otra base C ya que si [T ]C = PBC [T ]B PCB y [T ]B = PDP −1 , se tiene que

[T ]C = PBC PDP _ 1 PCB = ( PBC P) DP −1 (PBC )−1 = ( PBC P) D( PBC P) −1 = QDQ −1
Podemos elegir la expresión matricial en cualquier base del espacio paracalcular los autovalores pues

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•

Diagonalización de T.L. como son las matrices

30/10//11 de una misma

Matrices

semejantes,

transformación lineal en distintas bases, tiene el mismo polinomio característico y, por lo tanto, los mismos autovalores. (Observar que en la demostración anterior se ve que todas las matrices de T son semejantes a la misma matrizdiagonal, por lo que se desprende también de allí que todas tienen los mismos autovalores). Para calcular los autovectores tenemos que tener en cuenta que estarán expresados en la base correspondiente.

Consideremos primero la base canónica de P2 [ x] : B = 1, x, x 2 . Para hallar [T ]B calculamos:

{

}

T (1) = 6.1 + ( x + 1).0 = 6 T ( x) = 6.x + ( x + 1).1 = 7 x + 1 T ( x 2 ) = 6.x 2 + (...