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Las funciones homogéneas
y su uso en economía
(Nota didáctica)

Pedro Ramírez M.

Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Antioquia

Introducción
En algunos temas económicos el estudioso se puede preguntar
por el efecto que produce en el valor de una determinada función la
modificación de las variables que la definen. En el caso particular en
que un aumento odisminución en una proporción fija de las variables
independientes produzca un aumento o disminución proporcional en
el valor de la función, se dice que la función es homogénea.
Las funciones homogéneas encuentran abundante y variada
aplicación en la formulación matemática de modelos económicos.
Aparecen en las funciones de demanda de bienes, de utilidad, de
demanda de dinero y, especialmente, enlas funciones de produción;
tal es el caso de las llamadas CES y de Cobb-Douglas,
Este trabajo pretende recopilar algunas propiedades fundamentales de las funciones homogéneas, dando su demostración matemática
Medellin. Julio-diciembre

1981

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Ubros. Revi.tas

y, hasta donde nos sea posible, alguna interpretación. Se ha dividido
el documento en tres secciones: primero se defmen las funcioneshomogéneas. La segunda trata de funciones homogéneas de una
variable, en ella se da la forma general de las funciones homogéneas
de este tipo y, aunque puede parecer redundante con las propiedades
que se darán mas adelante en forma general, se prueba el teorema de
Euler. En la tercera sección se generalizan las propiedades de las funciones homogéneas para cualquier número finito de variablesindependientes. La notación usada es la que se acostumbra en los cursos
de cálculo que se imparten en nuestro medio.

l.

Funciones homogéneas

A. Definición
Una función f: Rm ---R se dice que es homogénea degrado n si para
todo te-O se verifica que

Es decir, una función es homogénea de grado n, si al multiplicar
por una cantidad te-O todas las variables, el valor de la función queda
multiplicado portD.
Cuando el grado de homogeneidad

es uno se dice que la función es
ello no quiere decir que la
función sea lineal en el sentido algebraico.

linealmente homogénea. Evidentemente,

Ejemplos:
1. La función de producción z = fl:K,L >= AKaU, donde A, a y b son
constantes, es homogénea-de grado a+b.
En efecto, sustituyamos
para z.

Lectura. de Economía No. 35

K por tK y L por tL en la expresiónNota didáctica

211

2. La función de producción de Cobb-Douglas', z=f{K,L)=AKaV-a
es linealmente homogénea. Obsérvese que esta función no es lineal.
3. La función de producción
linealmente homogénea.

CES2, f{K,L) = (AK-a+BL-a)-lIaes

f{tK,tL) = [A(tK)-a+B(tL)-a]-lIa= [At-aK-a+Bt-aL-a]-lIa
= [t--(AK-a+BL-a)]-lIa=t(AK-a+BL-a)-lIa
= tf{K,L)
4. La función Cobb-Douglas se puede generalizar para unnúmero
m de factores de producción y sigue siendo homogénea. Si denotamos
los factores de producción por xl' ~, .... ,xmla función
m

f(xII

X21

••••

I Xm)

=AIJ

Xl d

J

1-1

es homogénea de grado al + a2 + ....

+ am

5. Similarmente, la función CES puede ser generalizada para m
factores de producción y continúa siendo homogénea de grado uno.

2

Esta función de producción data desde 1928 cuando eleconomista americano P. Douglas en
colaboración con el matemático Cobb, quisieron determinar empíricamente el influjo del
gasto de capital y de trabajo sobre la magnitud de la producción en la industria de transformación de Estados Unidos, Desde entonces los tipos de funciones de producción que más
se utilizan, tanto en el análisis teórico como estadístico, son las diversas versiones de lafunción Cobb-Douglas.
La función de producción CES (Constant Elasticity Substitution) fue elaborada por los
economistas y econometristas americanos K. J. Arrow, H.D. Chenery, D.S. Minhas y R. M.
Solowen 1961. A diferencia de Cobb-Douglas estos autores partieron de que la elasticidad
de la sustitución no es igual a la unidad.

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B. Interpretación...