Dinamica de rotacion

DINÁMICA DE ROTACIÓN

Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad, aceleración. El análisis sesimplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rígido. En este capítulo se tratará la rotación de un cuerpo rígido en torno a un eje fijo, conocido como movimiento rotacional puro.

- ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN.

Para un cuerpo rígido formado por una colección de partículas que gira alrededor del eje z fijo con velocidad angular ω, cada partícula del cuerpo rígido tiene energía cinética detraslación. Si la partícula de masa mi, se mueve con velocidad vi, su energía cinética es:

[pic]

Cada partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular ω, pero distintas velocidades lineales, porque estas dependen de la distancia r al eje de rotación, y se relacionan por [pic]. Entonces la energía cinética de la partícula i es:

[pic]

La energía cinética total del cuerporígido en rotación es la suma de las energías cinéticas de cada partícula individual, esto es:

[pic]

Donde se factorizó ω2 porque es la misma para todo el cuerpo rígido. A la cantidad entre paréntesis en la ecuación anterior se la define como el momento de inercia, I, del cuerpo rígido:

[pic]
De la definición momento de inercia, sus unidades de medida en el SI son
kg·m2. Con estadefinición, se puede escribir la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido como:

La energía cinética de rotación no es una nueva forma de energía, sino que es el equivalente rotacional de la energía cinética de traslación, se dedujo a partir de esa forma de energía. La analogía entre ambas energías ½ mv2 y ½ Iω2 es directa, las cantidades I y ω del movimiento de rotación son análogas a m y v delmovimiento lineal, por lo tanto I es el equivalente rotacional de m (algo así como la masa de rotación), y siempre se considera como una cantidad conocida, igual que m, por lo que generalmente se da como un dato. Pero existen técnicas del cálculo integral para calcular I, y teoremas asociados.
El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje de rotación, el tamaño y la forma del objeto.En la siguiente tabla se dan los momentos de
Inercia respecto al centro de masa de figuras geométricas conocidas, de distribución de masa homogénea, cuando giran en torno al eje que se indica.

- RELACIÓN ENTRE TORQUE Y ACELERACIÓN ANGULAR.

Para una partícula de masa m, que gira como se muestra en la figura 1, en una circunferencia de radio r con la acción de una fuerza tangencial (Ft),además de la fuerza centrípeta necesaria para mantener la rotación. La fuerza tangencial se relaciona con la aceleración tangencial (at) por:
Ft = mat. El torque alrededor del centro del círculo producido por Ft es:

τ =Ft r = (m.at).r.

Como la at se relaciona con la aceleración angular por at = r.[pic], el torque se puede escribir como:

τ = (m r.α) r = (m r2).[pic]

Fig. 1

Y como mr2es el momento de inercia de la masa m que gira en torno al centro de la trayectoria circular, entonces:

τ = Ι.[pic]

El torque que actúa sobre una partícula es proporcional a su aceleración angular α, donde Ι es la constante de proporcionalidad. Observar que τ = Ι.[pic] es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton F = m.a.

Se puede extender este análisis a un cuerpo rígidoarbitrario que rota en torno a un eje fijo que pase por Ο, como se ve en la figura 2. El cuerpo rígido se puede considerar formado por elementos de masa dm, que giran en torno a Ο en una circunferencia de radio r, por efecto de alguna fuerza tangencial externa dFt que actúa sobre dm.

Por la segunda ley de Newton aplicada a dm, se tiene:

dFt = (dm) at

El torque dτ producido por la...