Dinamica estructural

Capítulo 2

Elementos de Dinámica Estructural
2.1 Introducción

Ante acciones de tipo dinámico una estructura responde modi…cando su con…guración alrededor de una posición de equilibrio estable. Estos cambios de con…guración pueden alcanzar grandes amplitudes incluso para valores pequeños de la acción excitadora, pudiendo conducir al colapso de la estructura. En este capítulo se revisanalgunos de los conceptos básicos del análisis dinámico de estructuras que son de aplicación en las normativas sismorresistentes. Así, en la sección 2 se realiza un breve repaso de los sistemas lineales de un grado de libertad. Se estudian los casos de las vibraciones tanto libres como forzadas y el caso de vibraciones producidas por una excitación de base. A continuación, en la sección 3, se introduceuno de los conceptos clave del cálculo sísmico: la de…nición de la acción por medio de espectros sísmicos de respuesta. La sección 4 se dedica al estudio de sistemas elásticos lineales con varios grados de libertad. Se plantean las ecuaciones del movimiento y se presentan las propiedades de los modos y frecuencias propias de la estructura. La respuesta máxima del sistema ante una solicitaciónsísmica se obtiene utilizando el análisis modal espectral, i.e., expresando dicha respuesta mediante superposición de modos, obteniendo la respuesta máxima asociada a cada uno de estos modos en base a la acción sísmica de…nida por su espectro de respuesta, y combinando las respuestas máximas modales así calculadas. Finalmente, se hace un breve apunte de los métodos de integración directa de lasecuaciones del movimiento.

c °A. Sáez. Estructuras III. E.T.S. Arquitectura de Sevilla.

CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL

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2.2
2.2.1

Sistemas de un grado de libertad
Vibraciones libres

Vibraciones libres de sistemas no amortiguados Se estudia la vibración del sistema que se esquematiza en la …gura 2.1, formado por una masa y un muelle de comportamiento elástico ylineal.

x(t) k kx

m
mx

m

Figura 2.1: Sistema de un g.d.l.. Equilibrio de fuerzas Si se desplaza la masa desde su posición de equilibrio y a continuación se deja vibrar libremente, la masa oscilará alrededor de dicha posición. Aislando la masa y planteando el equilibrio de fuerzas, se obtiene mÄ + kx = 0 x (2.1) La solución a la ecuación (2.1) es de la forma
s

x(t) = A1 cos ! n t + A2sen ! n t

;

!n =

k m

(2.2)

donde !n es la frecuencia natural o frecuencia propia del sistema (dada en radianes por segundo) y es la frecuencia a que tiende a vibrar el sistema de acuerdo con sus características. A1 y A2 son dos constantes arbitrarias que se calculan a partir de las condiciones iniciales.

Amortiguamiento El amortiguamiento es el proceso causante de que unmovimiento vibratorio disminuya su amplitud con el tiempo. Su origen puede ser diverso: por rozamiento de dos super…cies, como consecuencia de la fricción interna o histéresis del propio material, etc. Para aproximar las distintas formas de amortiguamiento es habitual en dinámica estructural emplear un amortiguamiento viscoso. En este caso la fuerza amortiguadora es proporcional a la velocidad _ (2.3) Fa =cx donde la constante c de amortiguamiento equivalente es tal que origina la misma disipación de energía que la producida por el amortiguamiento real de la estructura.

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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL Vibraciones libres de sistemas amortiguados

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La …gura 2.2 esquematiza un sistema de un grado de libertad conamortiguamiento viscoso. La ecuación del movimiento viene de…nida en este caso por mÄ + cx + kx = 0 x _ La solución a esta ecuación tiene la forma x(t) = e
c ¡ 2m t

(2.4)
s

n

A1 er1 t + A2 er2 t

o

;

r1 =

k c2 ¡ = ¡r2 2 4m m

(2.5)

donde A1 y A2 se calculan de nuevo a partir de las condiciones iniciales.

k c

x(t) kx

m

cx mx

m

Figura 2.2: Sistema de...