Dinamica Estructural

GM

C

Din´mica Estructural
a

An´lisis S´
a
ısmico de Estructuras:
Din´mica Estructural
a
Jos´ M.a Goicolea
e
Depto. Mec´nica de Medios Continuos
a
y Teor´ de Estructuras
ıa
17/03/03

J.M. Goicolea

An´lisis S´
a
ısmico de Estructuras

Din´mica Estructural
a

I. SISTEMAS LINEALES CON 1 G.D.L.
Oscilador Arm´nico Simple sin
o
Amortiguamiento
k

m

mx = fk (x)¨
fk (x) = −kx

x

⇒

12
V (x) = kx
2

Conservaci´n energ´
o
ıa:

1
12
12
2
E = T + V = mx + kx = kA
˙
2
2
2

(1)

donde A es la amplitud m´xima (x = 0).
a
˙

J.M. Goicolea

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a

Integraci´n de la ecuaci´n
o
o
Despejando x en (1):
˙

x=
˙

k2
(A − x2 )
m

⇒

dx
k
√
dt =
,
2 − x2
mA

def

Integrando, denominando ω0 = k /m, y tomando como
condici´n inicial x = 0 para t = 0,
o

ω0 t = arc sen

x
A

⇒

x(t) = A sen(ω0 t).

En un caso general (condiciones iniciales gen´ricas x0 , x0 ):
e
˙

x(t) = A sen(ω0 t + φ).

J.M. Goicolea

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a

Oscilador con Amortiguamiento
k
m
c
x
defsiendo ωD = ω0

fc = −cx
˙

⇒

mx + cx + kx = 0
¨
˙

√

Si c < ccrit = 2 km,
− 2c t
m

x(t) = Ae

sen(ωD t + φ)

1 − ζ 2 ; c = 2ζω0 m. Alternativamente:
2
x + 2ζω0 x + ω0 x = 0
¨
˙

(2)

x(t) = Ae−ζω0 t sen(ωD t + φ)

(3)

Las constantes (A, φ) se calculan mediante las condiciones
iniciales (x0 , x0 ).
˙

J.M. Goicolea

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ısmico de EstructurasDin´mica Estructural
a

Amortiguamiento
• Medida del amortiguamiento: decremento logar´
ıtmico (δ ),
logaritmo del cociente de amplitudes m´ximas en dos ciclos
a
sucesivos.
• Amplitud ciclo i: ui = Ae−ζω0 ti .
ti+1

2π
= ti +
ωD

⇒

δ = ln

ui
ui+1

=

2πζ
1−

ζ2

≈ 2πζ

(suficientemente aproximado si ζ ≤ 20 %).

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Oscilaciones Forzadas
♠ Ecuaci´n:
o
mx + cx + kx = p(t)
¨
˙

2
x + 2ζω0 x + ω0 x =
¨
˙

⇔

p(t)
.
m

(4)

♠ Soluci´n:
o


x (t) = Ae−ζω0 t sen(ω t + φ);
h
D
x(t) = xh (t) + xp (t),
xp (t) : soluci´n particular.
o

(5)

♠ Excitaci´n arm´nica
o
o
p(t) = p0 sen ωt
x0 =

⇔

xp (t) = x0 sen(ωt − φp )

p0
(k −

mω 2 )2+

c2 ω 2

=

p0 /k
(1 −

β 2 )2

+

4ζ 2 β 2

(6)

.

(7)

def

siendo β = ω/ω0 .
J.M. Goicolea

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a

Factor de Amplificaci´n Din´mica
o
a
p0
♥ Deformaci´n est´tica: xest = .
o
a
k
♥ Factor de Amplificaci´n Din´mica:
o
a
x0 = Ad xest ,
1.
2.
3.

Ad =

1
(1 −

β 2 )2

+

4ζ 2 β 2

.(8)

ω
p0
1: Ad → 0; x0 ≈
. (controlado por m).
2
ω0
mω
ω
p0
β=
1: Ad → 1; x0 ≈ xest = . (controlado por k ).
ω0
k
ω
≈ 1: Ad m´ximo (Resonancia);
a
β=
ω0
p0
x0,r =
; ωr = ω0 1 − 2ζ 2 . (controlado por c).
cω0
β=

J.M. Goicolea

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a

Factor de Amplificaci´n Din´mica
o
a
Factor de respuesta en desplaz.,Ad

6
ζ = 0.01
ζ = 0.05
ζ = 0.10

5
4
3

ζ = 0.20
2
ζ = 0.70
1
0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω /ω0

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a

Resonancia. Espectro de Respuesta.
♣ Despreciando la soluci´n de la homog´nea xh (t) → 0,
o
e
p0
x(t) = Ad (β ) sen(ωt − φp );
k
p0
x(t) = √
˙
Av (β ) cos(ωt − φp );
km
p0x(t) = − Aa (β ) sen(ωt − φp ).
¨
m
Donde Av =

ω
ω0 Ad ;

Aa =

ω
ω0 Av

=

ω
ω0

2

(9)
(10)
(11)

Ad .

♣ En gr´fica (ln(ω/ω0 ), ln Av ):
a
• Ad = cte.: ln Av = ln(ω/ω0 ) + ln Ad , recta pendiente +45◦
• Aa = cte.: ln Av = − ln(ω/ω0 ) + ln Aa , recta pendiente −45◦

J.M. Goicolea

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Factor de...