distancia entre dos puntos

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Matemática

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO
Distancia
entre dos
puntos

Consideremos los puntos del plano:
A = (x1 ; y1 ) y B = (x2 ; y2 )
Queremos determinar la distancia entre A y B valiéndonos de sus coordenadas.
Si unimos estos puntos con un segmento, la distancia entre A y B es la medida de la longitud
del segmento AB.

Si dibujamos rectas paralelas a los ejes quepasen
por los puntos y llamamos P a su intersección,
queda determinado el triángulo rectángulo APB,
cuya hipotenusa es el segmento AB.
Además P = (x2 ; y1).
Llamemos:


|AB| a la longitud de la hipotenusa AB



|PB| a la longitud del cateto PB



|AP| a la longitud del cateto AP

Por el teorema de Pitágoras, tenemos:
2

2

2

|AB| = |AP| + |PB|
Ahora bien,
|PB| = |y1 - y2 |

(el valor absoluto dela diferencia entre las
ordenadas de P Y B).
Y
|AP| = |x1 – x2 |
(el valor absoluto de la diferencia entre las
abscisas de A y P)
Reemplazando en
2

2

2

|AB| = |AP| + |PB|
es
2

2

2

2

2

|AB| = |x1 – x2| + |y1 – y2 |
= (x1 – x2) + (y1 – y2 )

Recordar que
2
2
|a| = a

Si extraemos la raíz cuadrada positiva y llamamos
d(A; B) a la distancia entre A y B, es:

d( A ;B )  ( x 1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2

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Conviene recordar que la distancia entre dos puntos del plano es siempre un número
mayor o igual que cero
Podemos ahora calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano.
Ejemplo 1.
Calcular la distancia entre P = (1; 4) y Q = (-2; 1)
Solución
Por la fórmula que encontramos podemosescribir:

d(P; Q)  (x 1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2
Tomando las coordenadas de P con subíndice 1 y las de Q con subíndice 2, es:
d(P; Q)  (1 ( 2)) 2 ( 4 1) 2
 (3 ) 2 ( 3) 2
 18
Como

18  2 
9
 29

(propiedad distributiva de la radicación respecto a la
multiplicación)

3 2
Luego la distancia entre P y Q es d(P;Q) = 3 2

Ejemplo 2.
Calcular la distancia entre A = (-3; 4) y B = (6; 4)
SoluciónUsamos nuevamente la fórmula

d( A ; B )  ( x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2
y tomando las coordenadas de A con subíndice 1 y las de B con subíndice 2, es:
d( A ; B )  ( 3 6 ) 2 (4 4 ) 2
2

 (9 ) ( 0 )

2

 81 9
Por lo que d(A; B) = 9
En el ejemplo anterior los puntos A = (-3; 4) y B = (6; 4) están sobre la recta de ecuación
y = 4, por lo que la distancia entre los puntos es igual al valorabsoluto de la diferencia de
sus abscisas.
d(A; B) = |-3 - 6| = |-9| = 9

En general


Si los puntos están ubicados sobre el eje x o en una recta que sea paralela a ese
eje, la distancia entre los puntos es igual al valor absoluto de la diferencia de sus
abscisas.



Si los puntos están ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a dicho eje, la
distancia entre los puntos es igual al valorabsoluto de la diferencia de sus
ordenadas.

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Coordenadas
del punto
medio de un
segmento

Consideremos el segmento PQ siendo
P = (x 1; y 1) y Q = (x 2, y 2)
Y sea M = (x; y) el punto medio del segmento
PQ.
Queremos determinar las coordenadas de M
en función de las coordenadas de P y de Q.

Trazamos las rectasparalelas a los ejes que
pasan por P y Q.
Queda determinado el triángulo rectángulo
PRQ rectángulo en R y es
R = (x1; y2 )

Por M, trazamos una recta paralela a QR. Esta
recta interseca al lado PR en N.
Asumimos que N es el punto medio de PR (la
demostración queda fuera del alcance de este
texto).
Luego es: |PN| = |NR|
En consecuencia
x – x1 = x2 – x
O en forma equivalente
2x = x1 + x2
Resolviendola ecuación obtenemos:

x x 2
x 1
2
Por lo cual la abscisa del punto medio de un segmento es el promedio de las abscisas de
sus extremos.
Procediendo de manera similar, se encuentra que la ordenada del punto medio es el
promedio de las ordenadas de sus extremos.

y y 2
y 1
2

Entonces el punto medio del segmento queda caracterizado por:

x1 x 2 y1 y 2
M 
;

2
 2

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