Distribuci C3 B3n Normal analisis

Análisis de la Función Normal

x = Variable aleatoria normal con Valor Esperado  y dispersión N(,) cuya función de densidad es:



Calculamos laderivada primera y segunda:







A partir de la primera derivada podemos ver que la función tiene un máximo o un mínimo en x= pues allí se anula f’(x).

f’(x) > 0cuando x <  y f’(x) < 0 cuando x >  , por lo tanto podemos decir que f es creciente en el intervalo (-, ) y decreciente en el intervalo (, +). Por lo tantoen  tiene un máximo.
Reemplazando en f(x) se obtiene que dicho máximo es

Observar que si la dispersión es mayor, este máximo es más pequeño. Y si ladispersión es menor, el máximo es un valor más grande.
Analicemos ahora la segunda derivada.
Los ceros indican puntos de inflexión, y los mismos se dan cuando
Obien cuando

Es decir que  y  son los puntos de inflexión.

El signo de la derivada segunda depende del último paréntesis ya que el otro factor es negativoindependientemente del valor de x. Y el paréntesis



y resulta negativo en caso contrario. Con lo cual la f”(x) resulta negativa en ( y positiva en(-, ) y en (, +). Recordando que f”(x) positiva implica f(x) cóncava positiva y f”(x) negativa, f(x) cóncava negativa.

Por lo tanto:

Dominio:Imagen:

Asíntota Horinzontal: y = 0 ya que

Máximo:

Crecimiento y decrecimiento
f(x) creciente en (-, )
f(x) decreciente en (, +)Concavidad
f(x) cóncava hacia arriba en (-, ) (, +)
f(x) cóncava hacia abajo en (,

Puntos de inflexión:


Gráfico