Distribuci N Normal Jose

Distribución normal:
La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. Su grafica, que recibe el nombre de curva normal, es la curva en forma de campana que se muestra en la figura 5.1, la cual describe en forma aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Las mediciones físicas enáreas tales como los experimentos meteorológicos, los estudios acerca de las lluvias y las mediciones sobre partes manufacturadas se explican con una distribución normal en forma más que adecuada. A demás, los errores en las mediciones científicas se aproximan hasta límites extremadamente pequeños gracias a la distribución normal. En el 1733, Abrahan DeMoivre desarrollo la ecuación matemática de lacurva normal. Proporciono una base sobre la cual se fundamente gran parte de la teoría de la estadística inductiva. A la distribución normal, frecuentemente, se le llama distribución gaussiana, en honor de Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien también derivo su ocasión de un estudio de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad.
Una variable aleatoria continua X que tiene ladistribución en forma de campana de la figura 5.1 se llama variable aleatoria normal. La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de los parámetros µ y σ, su media y su desviación estándar. Por lo tanto se representan los valores de densidad de X por n(x; µ, σ).

Figura 5.1.- La curva normal.

Distribución normal
La función de densidad de la varibalealeatoria normal X, con media µ y varianza σ2, es:
n(x; µ, σ)= , -∞ < x < ∞,
Donde π= 3,14159…… y e= 2,71828…….
Una vez que se especifican µ y σ, la curva normal se determina completamente. Por ejemplo, si µ= 50 y σ= 5, entonces las ordenadas n(x; 50,5) pueden calcularse fácilmente para varios valores de x y puede dibujarse la curva. En la figura 5.2 se grafican dos curvas normales quetienen la misma desviación estándar pero diferentes medias. Las dos curvas son idénticas en forma pero se centran en diferentes posiciones a lo largo del eje horizontal.
En la figura 5.3 se muestran dos curvas normales con la misma media pero con diferentes desviaciones estándar en este caso se ve que a dos curvas están centradas exactamente en la misma posición sobre el eje horizontal, pero lacurva con la desviación estándar más grande es más baja y está más extendida hacia los lados. Recuérdese que e área bajo una curva de probabilidad debe ser igual a 1 y, por lo tanto, entre mas variad sea el conjunto de las observaciones más bajas y más extendida será la curva correspondiente.


Figura 5.2.- Curvas normales con µ1 < µ2 y σ1= σ2

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Figura 5.3.- Curvas normales con µ1 =µ2 y σ1< σ2La figura 5.4 muestra los resultados de graficar dos curvas normales que tienen diferentes medias y diferentes desviaciones estándar. Claramente se observa que están centradas en diferentes posiciones sobre el eje horizontal y sus formas reflejan los dos diferentes valores de σ.
A partir de un análisis de la figura 5.1 a 5.4 y del examen de la primera y la segunda derivada de n(x; µ, σ), seencuentran las siguientes propiedades de la curva normal:
1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su máximo, ocurre en x= µ.
2. La curva es simétrica alrededor de su eje vertical donde se tiene la media µ.
3. La curva tiene su punto de inflexión en x = µ ± σ, es cóncava hacia abajo si µ - σ < X < µ + σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier otros punto.
4. La curvanormal se acerca al eje horizontal en forma asintótica en cualquiera de las dos direcciones, alejándose de la media.
5. El área total bajo de la curva y arriba del eje horizontal es igual a 1.
Ahora se mostrara que los parámetros µ y σ2 son en realidad la media y la varianza de la distribución normal. Para evaluar la media, se escribe:
E(x)= dx


Figura 54.- curvas normales con µ1 < µ2 y σ1<...