Conceptos Te Ricos Distribuci N Normal
Páginas: 6 (1316 palabras)
Publicado: 18 de marzo de 2015
MODELOS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICOS
CLASE 3: DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROFESOR: OSCAR SAAVEDRA – ANDRÉS DURANGO
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La Distribución normal es la más importante en toda la probabilidad y la estadística.
Muchas poblaciones numéricas tienen distribuciones que se pueden ajustar con mucha
precisión mediante una curva normal apropiada.
Definición
Se dice que una v.a X tiene una distribuciónnormal con parámetros µ y σ 2, donde - ∞ < µ
< ∞ y σ>0. Si la f.d.p de X es:
La distribución normal con valores de parámetro µ = 0 y σ = 1 se llama distribución normal
estándar. Una variable aleatoria que tiene una distribución normal estándar se llama
variable aleatoria normal estándar y se denota mediante Z. La fdp de Z es:
La distribución normal estándar por lo regular no sirve como modelo deuna población que
surge de manera natural. En cambio, es una distribución de referencia a partir de la que
se puede obtener información de las distribuciones normales. En la tabla adjunta se
puede calcular P (Z ≤ z), el área bajo la gráfica de la fdp normal estándar a la izquierda de
Z.
Ej.1: Calcule las siguientes normales estándar:
a)
b)
c)
d)
P( Z ≤ 1,25)
P(Z > 2.2 )
P(Z ≤ -1.02)
P( - 0.38
Si la distribución de la población de una variable es (más o menos) normal, entonces:
1. Alrededor del 68% de los valores están dentro de una desviación estándar (1σ) de
la media o promedio aritmético ( ̅ )
2. Alrededor del 95% de los valores están dentro de dos desviación estándar (2σ) de
la media o promedio aritmético ( ̅ )
MODELOS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICOS
CLASE 3: DISTRIBUCIÓNNORMAL
PROFESOR: OSCAR SAAVEDRA – ANDRÉS DURANGO
3. Alrededor del 99.7% de los valores están dentro de tres desviación estándar (3σ)
de la media o promedio aritmético ( ̅ )
DISTRIBUCIONES NORMALES NO ESTÁNDAR
Para “x” una variable aleatoria normal con parámetros µ y σ, entonces:
∫
√
Si X tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar σ, entonces:
Por lo tanto,
P (a ≤ x ≤ b) =(
)
(
)
(
)
La idea clave de la proposición es que al estandarizar, cualquier probabilidad en la que
interviene X se puede expresar como una probabilidad que tiene que ver con una variable
aleatoria normal estándar Z y, por lo tanto, se puede usar la tabla de probabilidades
acumuladas para una distribución normal.
Ejemplo 2.
Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva unpromedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación
estándar igual a 15 mililitros:
a) ¿Qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros
para las siguientes 1000 bebidas?d) ¿Por debajo de que valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?
Ejemplo 3.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación
estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro
del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar solo 3% de los motores que fallan,
¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? Supongaque la duración del motor
sigue una distribución normal.
Ejemplo 4.
Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174.5
centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Suponga que las alturas se
registran al medio centímetro más cercano, ¿Cuántos de estos estudiantes esperaría que
tuvieran alturas
a) Menores que 160.0 centímetros?
MODELOS DE SIMULACIÓNESTADÍSTICOS
CLASE 3: DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROFESOR: OSCAR SAAVEDRA – ANDRÉS DURANGO
b) Entre 171.5 y 182.0 centímetros inclusive?
d) Mayor que o igual a 188.0 centímetros?
APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Sea X una variable aleatoria binomial basada en “n” ensayos con probabilidad p de éxito.
Entonces, X tiene casi una distribución normal con µ = np y σ = √
, siempre y cuando
np = ≥...
CLASE 3: DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROFESOR: OSCAR SAAVEDRA – ANDRÉS DURANGO
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La Distribución normal es la más importante en toda la probabilidad y la estadística.
Muchas poblaciones numéricas tienen distribuciones que se pueden ajustar con mucha
precisión mediante una curva normal apropiada.
Definición
Se dice que una v.a X tiene una distribuciónnormal con parámetros µ y σ 2, donde - ∞ < µ
< ∞ y σ>0. Si la f.d.p de X es:
La distribución normal con valores de parámetro µ = 0 y σ = 1 se llama distribución normal
estándar. Una variable aleatoria que tiene una distribución normal estándar se llama
variable aleatoria normal estándar y se denota mediante Z. La fdp de Z es:
La distribución normal estándar por lo regular no sirve como modelo deuna población que
surge de manera natural. En cambio, es una distribución de referencia a partir de la que
se puede obtener información de las distribuciones normales. En la tabla adjunta se
puede calcular P (Z ≤ z), el área bajo la gráfica de la fdp normal estándar a la izquierda de
Z.
Ej.1: Calcule las siguientes normales estándar:
a)
b)
c)
d)
P( Z ≤ 1,25)
P(Z > 2.2 )
P(Z ≤ -1.02)
P( - 0.38
Si la distribución de la población de una variable es (más o menos) normal, entonces:
1. Alrededor del 68% de los valores están dentro de una desviación estándar (1σ) de
la media o promedio aritmético ( ̅ )
2. Alrededor del 95% de los valores están dentro de dos desviación estándar (2σ) de
la media o promedio aritmético ( ̅ )
MODELOS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICOS
CLASE 3: DISTRIBUCIÓNNORMAL
PROFESOR: OSCAR SAAVEDRA – ANDRÉS DURANGO
3. Alrededor del 99.7% de los valores están dentro de tres desviación estándar (3σ)
de la media o promedio aritmético ( ̅ )
DISTRIBUCIONES NORMALES NO ESTÁNDAR
Para “x” una variable aleatoria normal con parámetros µ y σ, entonces:
∫
√
Si X tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar σ, entonces:
Por lo tanto,
P (a ≤ x ≤ b) =(
)
(
)
(
)
La idea clave de la proposición es que al estandarizar, cualquier probabilidad en la que
interviene X se puede expresar como una probabilidad que tiene que ver con una variable
aleatoria normal estándar Z y, por lo tanto, se puede usar la tabla de probabilidades
acumuladas para una distribución normal.
Ejemplo 2.
Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva unpromedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación
estándar igual a 15 mililitros:
a) ¿Qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros
para las siguientes 1000 bebidas?d) ¿Por debajo de que valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?
Ejemplo 3.
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación
estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro
del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar solo 3% de los motores que fallan,
¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? Supongaque la duración del motor
sigue una distribución normal.
Ejemplo 4.
Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174.5
centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Suponga que las alturas se
registran al medio centímetro más cercano, ¿Cuántos de estos estudiantes esperaría que
tuvieran alturas
a) Menores que 160.0 centímetros?
MODELOS DE SIMULACIÓNESTADÍSTICOS
CLASE 3: DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROFESOR: OSCAR SAAVEDRA – ANDRÉS DURANGO
b) Entre 171.5 y 182.0 centímetros inclusive?
d) Mayor que o igual a 188.0 centímetros?
APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Sea X una variable aleatoria binomial basada en “n” ensayos con probabilidad p de éxito.
Entonces, X tiene casi una distribución normal con µ = np y σ = √
, siempre y cuando
np = ≥...
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