distribucion exponencial

Distribución exponencial
En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con un parámetro  cuya función de densidad es:

Su función de distribución acumulada es:

Donde  representa el número e.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:

La distribución exponencial es un casoparticular de distribución gamma con k = 1. Además la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribución exponencial es una variable aleatoria expresable en términos de la distribución gamma.







Ejemplo :
Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos, que sedistribuyen según la distribución de Poisson.
El tiempo transcurrido en un call center hasta recibir la primer llamada del día se podría modelar como una exponencial.
El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.
Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre sepodría modelar como una exponencial.
En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribución exponencial.

Calcular variables aleatorias
Se pueden calcular una variable aleatoria de distribución exponencial  por medio de una variable aleatoria de distribución uniforme :

o, dado que  es también una variable aleatoria con distribución , puede utilizarse laversión más eficiente:







DISTRIBUCIÓN  EXPONENCIAL.
 
A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de momento solo trataremos sobre el uso de laexponencial.
Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentementeinvolucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas.
 
La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro b, si su función de densidad es:
                , x  0      ;  f(x) = 0   en cualquier otro caso
 
donde   0
 
La  media y la variancia de ladistribución exponencial son:
 
                y                  2  2








 Relación con el proceso de Poisson.
Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también  que la distribución dePoisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegadarepresenta el evento de Poisson.
La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro l, donde l puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria...