Distribuciones de probabilidad

Distribuciones de probabilidades de variables aleatorias discretas
Juan Espinoza B. Facultad de Agronomía – Universidad de Concepción

Introducción Como se ha señalado en artículos anteriores, los eventos experimentales de mayor interés con frecuencia son numéricos, es decir, realizamos un experimento y observamos el valor numérico de alguna variable. Si repetimos el experimento n veces,obtenemos una muestra de datos cuantitativos. Como ejemplo, supongamos que un producto fabricado en una empresa, se vende en lotes de 20 cajas, cada una de las cuales contiene 12 artículos. A fin de verificar la calidad del producto, el jefe de control de procesos de la empresa selecciona al azar cuatro de entre los 240 artículos de un lote y determina si los artículos están defectuosos o no. Si más deuno de los artículos muestreados resulta defectuoso, se rechazará todo el lote. La selección de cuatro artículos fabricados de entre 240 produce un espacio muestral Ω que  240   contiene   4  eventos simples, cada uno de los cuales corresponde a una posible   combinación de cuatro artículos que podrían seleccionarse del lote. El evento de interés para el jefe de control de procesos es laobservación de la variable X número de artículos defectuosos entre los cuatro que se prueban, por lo tanto existe una relación funcional entre los eventos simples Ei de Ω y los valores que puede asumir X. El evento x = 0 es la colección de todos los eventos simples que no contienen artículos defectuosos. De forma similar, el evento x = 1 es la colección de todos los eventos simples en lo que seobserva un artículo defectuoso. Puesto que el valor que X puede asumir es un evento numérico, que varía de forma aleatoria de una repetición del experimento a otra, se dice que X es una variable aleatoria.

Conceptos básicos Una variable aleatoria es una función que cuantifica los resultados de un experimento aleatorio. Una variable aleatoria discreta X sólo puede asumir una cantidad de valoressusceptible de contarse. En estadística la distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta X es una tabla, gráfica o fórmula que da la probabilidad P(X = x) asociada a cada posible valor de X. Si consideremos el experimento de lanzar dos veces una moneda balanceada y se observa el número X de caras. Calculemos la distribución de probabilidad para X. Sean Ci y Si la observación deuna cara y un sello, respectivamente, en el i – ésimo lanzamiento, para i = 1, 2. Los cuatro eventos simples y los correspondientes valores de X se muestran en la tabla 1.

Evento Simple E1 E2 E3 E4

Descripción C1C2 C1S2 S1C2 S1S2

P(Ei) ¼ ¼ ¼ ¼

Número de caras X 2 1 1 0

El evento x = 0 es la colección de todos los eventos simples que producen un valor de x = 0 en este caso es elúnico evento E4, luego la probabilidad de que x asuma el valor cero es: P(x = 0) = p( 0 ) = P(E4) = 1 . El evento x = 1 contiene dos eventos simples, E2 y E3. Por 4 tanto, P(x = 1) = p( 1 ) = P(E2) + P(E3) = 1 + 1 = 1 . Por último, P(x = 2) = p( 2 ) = 4 4 2 P(E1) = 1 . La tabla 2, muestra la distribución de probabilidad para x. 4 X 0 1 2 p(x) ¼ ½ ¼ ∑ p( x) = 1
x

Como se verá más adelante, estadistribución de probabilidad también puede calcularse con  2    x la fórmula p ( x) =   , usando la distribución binomial. 4 Requisitos para una distribución de probabilidad discreta

1. 0 ≤ p(x) ≤ 1

2.

∑ p( x) = 1
todax

Esperanza. Sea x una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades p(x). Entonces el valor esperado o medio de x es µ = E ( x) = ∑ xp( x)
todaxVarianza. Sea x una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades p(x). Entonces, la varianza de x es σ 2 = E ( x − µ ) 2 = E ( x 2 ) − µ 2 . La desviación estándar de x es la raíz cuadrada positiva de la varianza de x.

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Distribución Bernoulli

Una prueba o experimento Bernoulli tiene uno de dos resultados mutuamente excluyentes, que generalmente se denotan S...