Distribuciones estadisticas

Distribución binomial
El número X de éxitos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se llama distribución binomial y sus valores se denotaran como b(x; n, p), ya que dependen del numero de ensayos y de la probabilidad de éxito en un ensayo dado. Por consiguiente, para la distribución deprobabilidad de X el numero de productos defectuosos es

Generalicemos ahora la ilustración anterior con el fin de obtener una fórmula para b(x; n, p). Esto significa que deseamos encontrar una fórmula que dé la probabilidad de x éxitos y n-x fracasos en un orden especifico. Como los ensayos son independientes, podemos multiplicar todas las probabilidades que corresponden a los diferentes resultados. Cadaéxito ocurre con probabilidad p y cada fracaso con probabilidad q= 1-p. Por lo tanto, la probabilidad para el orden especifico es px qn-x . Ahora debemos determinar el número total de puntos muéstrales en el experimento que tienen x éxitos y n-x fracasos. Este número es igual al número de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n-x en el otro, y se escribe (). Como estasparticiones son mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades de todas las diferentes particiones para obtener la formula general o simplemente multiplicamos px qn-x por ().
Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito de probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1-p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos enn ensayos independientes, es
b(x; n,p) = () px qn-x, x=0,1,2,…,n.
Observe que cuando n=3 y p=1/4, la distribución de probabilidad de X, el numero de artículos defectuosos, se escribe como
B (x; 3,) = ( ) ( )x ( ) 3-x , x=0,1,2,3.
¿De dónde proviene el nombre binomial?
La distribución binomial deriva su nombre del hecho de que los n +1 términos en la expansión binomial de (q +p)ncorresponden a los diversos valores de b(x; n, p) para x=0,1,2,…,n. es decir,

Dado que p +q=1, vemos que

Una condición que se debe cumplir para cualquier distribución de probabilidad.

Distribución multinomial
El experimento binomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene más de dos resultados posibles. La clasificación de un producto fabricado como ligero, pesado oaceptable, y el registro de los accidentes en cierto crucero de acuerdo con el día de la semana, constituyen experimentos multinomiales. Extraer con reemplazo una carta de una baraja también es un experimento multinomial si los 4 palos son los resultados de interés.
En general, si un ensayo deseado puede tener como consecuencia cualquiera de los k resultados posibles E1,E2,…,Ek con probabilidadesp1,p2,…,pk, la distribución multinomial dará la probabilidad de que E1 ocurra x1 veces, E2 ocurra x2 veces… y En ocurra xk veces en n ensayos independientes, donde
x1+x2+…+xk=n.
Denotaremos esta distribución de probabilidad conjunta como f(x1,x2,… ,xk;p1, p2,…, pk,n)
Salta a la vista que p1+ p2+… pk=1, pues el resultado de cada ensayo debe ser uno de los k resultados posibles.
Para derivar laformula general procedemos como en el caso binomial. Puesto que los ensayos son independientes, cualquier orden especificado que produzca x1 resultados para E1, x2 para E2,…,xk para Ek ocurrirá con probabilidad p1X1 p2X2… pkXk. El número total de ordenamientos que producen resultados similares para los n ensayos es igual al número de participantes de n artículos en k grupos con x1 en el primergrupo, x2 en el segundo grupo… y xk en el k-ésimo grupo. Esto se puede hacer en

Formas. Como todas las particiones son mutuamente excluyentes y tienen la misma probabilidad de ocurrir, obtenemos la distribución multinomial multiplicando la probabilidad para un orden específico por el número total de particiones.
Si un ensayo dado puede producir los k resultados de E1,E2,…,Ek con probabilidades...