Distribuciones muestrales

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1. Introducción

Distribuciones Muestrales

Al definir la estadística se explicó que la probabilidad se trabaja desde la población hacia la muestra, mientras que la inferencia estadística se trabaja en sentido contrario, es decir, de la muestra hacia la población. Por lo tanto, para comenzar con la inferencia, necesitamos hacer un breve recuento del concepto de población y definir conclaridad el concepto de muestra aleatoria. Una población representa el estado de la naturaleza o la forma de las cosas con respecto a un fenómeno aleatorio, el cual puede identificarse a través de una característica medible. Por ejemplo, el nivel de colesterol en la sangre de una persona. Como la inferencia estadística se formula con base en una muestra de elementos de la población de interés, elproceso por el cual se obtiene la muestra será aquel que asegure una buena muestra. Una buena manera de escoger una muestra resulta cuando el proceso de muestreo proporciona a cada elemento de la población una oportunidad igual e independiente de ser incluido en la muestra. Si la población consta de N elementos y de éstos se toma una muestra de tamaño n, el proceso de muestreo debe asegurar que cadaposible muestra de tamaño n tenga la misma posibilidad de ser seleccionada. Este procedimiento conduce a lo que se denomina como muestreo aleatorio simple. La naturaleza de la información estadística requiere una total imparcialidad en la selección de la muestra. Al extraer una muestra aleatoria debemos analizar las características de la población. Muchas veces ésta no consta de objetos tangibles apartir de los cuales se selecciona un cierto número para formar la muestra. La población puede estar formada por un número infinito de posibles resultados para alguna característica de interés. Sea X esta característica, la cual puede estar definida por una función de densidad f(x,θ), correspondiente a la población. Las siguientes son las formas de realizar el muestreo para esta población:

a)Se diseña un experimento y se lleva a cabo para extraer la primera observación X1 de la característica medible. El experimento se repite bajo las mismas condiciones para extraer la segunda observación X2. El proceso se continúa de igual manera hasta obtener n observaciones de la característica de interés {X1, X2,….,Xn}. Las observaciones se obtienen a través de ensayos independientes que ocurrencada vez que el experimento se repite bajo las mismas condiciones. Cada una de las observaciones X1, X2,….,Xn es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es idéntica a la de la población.
Situación diferente ocurre cuando la selección se lleva a cabo de objetos tangibles de una población que consta de un número finito de elementos. La característica medible puede ser un atributo ouna medición cuantitativa como la duración de un servicio. En este caso existen dos formas de tomar la muestra.

b) Después de llevar a cabo una mezcla adecuada de cada uno de los elementos de la población, se extrae uno, se observa la característica medible. Sea X1 esta observación. El elemento se repone a la población, ésta vuelve a mezclarse y se extrae el segundo elemento X2. El proceso secontinúa hasta que se obtengan n observaciones X1, X2,….,Xn de la característica X. Este proceso se denomina “muestreo con reemplazamiento”. . c) Después de llevar a cabo una mezcla adecuada de cada uno de los elementos de la población, se seleccionan n elementos uno después del otro, sin reemplazo. Este proceso se denomina “muestreo sin reemplazamiento”.
En el caso b) cada una de lasobservaciones X1, X2,….,Xn es una variable aleatoria cuya función de densidad es idéntica a la de la población original. En el caso c) las observaciones X1, X2,….,Xn son variables aleatorias cuyas distribuciones marginales son iguales a la de la población. La diferencia entre estas dos técnicas es el concepto de independencia. En el caso b) las observaciones X1, X2,….,Xn constituyen un conjunto de variables...