Distribuciones

Estadística

Tema 4

Curso 2006/07

Tema 4. MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETOS.
Objetivos Conceptos: Conocer los siguientes modelos discretos de probabilidad: uniforme, binomial, geométrico y Poisson. De cada uno de ellos: * * * * * Tipo de experimentos que modelizan Función de masa Esperanza y varianza Propiedades gráficas y de asimetría Propiedades de reproductividad (suma de v.a.)Saber hacer: Dada una variable aleatoria: * Reconocer el modelo de probabilidad que sigue * Calcular probabilidades, utilizando las tablas o bien a partir de las fórmulas adecuadas * Hallar esperanza y varianza. Dada una variable estadística: * Estudiar si se ajusta a alguno de los modelos de probabilidad estudiados * Determinar los parámetros correspondientes a dicho modelo Problemas de exámenes(web): SIN: Febrero 2006: Problema 2 (a) (b) (c) Septiembre 2006. Problema 1 (c)(d) Febrero 2005: Problema 2 Junio 2004: Problema 1 CON: Septiembre 2006: 4 (d) (modelos A y B) Diciembre 2004: (m) (n) Junio 2005: (d) (e) Septiembre 2005: (c)(d)

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4.1.- Introducción.
Hay situaciones que siguen modelos de distribución de probabilidad muy similares: • •• Resultados al lanzar una moneda, un dado, una ruleta, el sorteo de la ONCE, ... Número de caras al lanzar 3 monedas, número de “seises” al lanzar tres dados, ... Número de tiradas hasta que sale la primera “cara”, número de tiradas hasta que sale el primer “seis”, ...

Buscaremos “patrones”, modelos que se adapten a situaciones frecuentes. En general, los modelos son simplificaciones de larealidad, no se ajustan exactamente a ella, pero nos sirven para poder comprenderla mejor.

4.2.- Distribución uniforme discreta.
Modelo Tipo de experimento Ejemplos Función de masa E(X) = Ejemplos: 1) Resultados al lanzar un dado

Uniforme discreta
X: resultado de un experimento en el que todos los valores posibles tienen la misma probabilidad 1) Resultados al lanzar un dado . 2) Resultadosal jugar a una ruleta

{ xi ∈ R / i = 1,...,n}

;

P ( X = xi ) =

1 n
CAF=0 (simétrica)

∑x
i∈I

i

1 n

V(X)=

∑x
i∈I

2 i

1 − E ( X )2 n

1 P ( X = xi ) = ; xi = 1, 2,3, 4,5, 6 ; E(X)= 6
2) Resultados al jugar a una ruleta

∑ k ⋅ 6 = 3.5 ; V(X)= ∑ k
k =1 k =1

6

1

6

2

1 35 2 − ( 3.5 ) = = 2.916 6 12

P ( X = xi ) =

1 ; xi = 0,1, 2,...,36 ; E(X)=37

∑k ⋅
k =0

36

1 = 18 ; V(X)= 37

∑k
k =0

36

2

1 2 − (18 ) = 114 37

Observamos en la representación gráfica, la simetría en los dos casos:

Discrete Uniform Distribution
0,18 0,15 0,12 0,09 0,06 0,03 0 0 10 20 30 40 Lower limit,Uppe 1,6 0,37

probability

x

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4.3.- Distribución binomial.
Modelo

Bernouilli B(1,p)X: número de éxitos en un experimento tal que:

Tipo de experimento

• •

Sólo hay dos resultados posibles {0,1} La probabilidad de “éxito” (1) es constante: p

1) Acertar la respuesta de una pregunta de test contestando al azar Si es de Verdadero o Falso, p=1/2 Si hay 3 alternativas p=1/3 En general, con n alternativas p=1/n. 2) Obtener una pieza correcta o defectuosa p=P(obtener piezadefectuosa) Función de masa

Ejemplos

{0,1 }

;

P ( X = 0) = 1 − p ; P ( X = 1) = p
CAF = 1− 2 p ; p(1 − p)

E(X) =

p

V(X)=

p(1 − p)

la simetría depende de p: es simétrica si p=0.5.

Ejemplo: 1) Acertar la respuesta de una pregunta de test con 3 alternativas contestando al azar: Como p=1/3, E(X)=1/3. V(X)=

1 1 2 2 (1 − ) = ; dt = = 0.47 . 3 3 9 9
BernoulliDistribution
0,8 Event prob. 0,333333

CAF =

1− 2

probability

1 3 = 0.7 > 0 1 1 (1 − ) 3 3

0,6 0,4 0,2 0 0 0,5 1 1,5

(asimetría a la derecha)

x

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Modelo Tipo de experimento

Binomial B(n,p)
X: número de “éxitos” en n experimentos de Bernouilli independientes (p: probabilidad de “éxito”) X: Número de respuestas acertadas en un examen...