Documento1

Enunciado
1

Dado el espacio vectorial R2, una base del mismo (e1,
e2) y la de su dual (e∗1,e∗2) (e_1^\ast , e_2^\ast ), se
introduce un cambio de base en la siguiente forma:

v=e1−e2;w=e1−4e2v = e_1 - e_2 \; \; ; \; \; w = e_1 - 4e_2

Obtener labase dual de (v, w) en función de la (e∗1,e∗2) (e_1^\ast
, e_2^\ast ).
RESPUESTA DEL EJERCICIO 1

Para obtener una base dual de la dada tenemos:
v∗(v)=1→(αe∗1+βe∗2)(e1−e2)=α−β=1w∗(w)=0→(αe∗1+βe∗2)(e1−4e2)=α−4β=0∣∣∣∣α=43,β=−13
y análogamente:
v∗(v)=0→(α′e∗1+β′e∗2)(e1−e2)=α′−β′=0w∗(w)=1→(α′e∗1+β′e∗2)(e1−4e2)=α′−4β′=1∣∣∣∣α′=13,β′=−13
Se puede comprobar con facilidad que la matrizde paso de (e∗1,e∗2) a (v∗,w∗) es la inversa de la matriz de paso de (e1,e2) a (v,w) .

Enunciado 2


Siendo x = (x1, x2) un vector cualquiera
de R2, en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones
lineales:

f(x)=2x1+x2;g(x)=x1+x2f(x) = 2x_1 + x_2\; \; ; \; \; g(x) = x_1 + x_2

Estudiar si forman una base del dual de R2 y hallar
la base de R2 de la que son dual.

RESPUESTA
DEL EJERCICIO 2

Para saber si las aplicaciones dadas forman una base del dual de
R2, comprobamos que son linealmente independientes.Tenemos:

αf(x)+βg(x)=0⇒α(2x1+x2)+β(x1+x2)=0 \alpha \, f(x) + \beta \, g(x) = 0 \Rightarrow \alpha \, (2x_1
+ x_2) + \beta \, (x_1 + x_2) = 0

Reagrupando términos tenemos:

(2α+β)x1+(α+β)x2=0⇒[((2α+β),(α+β)](x1x2)=0⎧⎩⎨2α+β=0α+β=0(2 \alpha + \beta) x_1 + (\alpha + \beta) x_2 = 0 \Rightarrow[( (2 \alpha + \beta) \; , (\alpha + \beta)] \begin{pmatrix} x_1
\\ \\ x_2 \end{pmatrix} = 0 \; \; \left\{ \begin{array}{l} 2 \alpha
+ \beta =0 \\ \\ \alpha + \beta = 0 \end{array}\right.

Y a partir de ahí, α=0;β=0 \; \; \alpha = 0 \, ; \, \beta = 0
. Para obtener la base de R2 de la que son dual hacemoscomo en el ejercicio anterior:

f(v1)=1→(2x1+x2)(αe1+βe2)=2α+β=1g(v1)=0→(x1+x2)(αe1+βe2)=α+β=0∣∣∣∣α=1,β=−1\left. \begin{array}{l} f (v_1) = 1 \rightarrow (2x_1 + x_2)(
\alpha \, e_1 + \beta \, e_2) = 2\alpha + \beta = 1 \\ \\ g(v_1)
= 0 \rightarrow (x_1 + x_2)( \alpha \, e_1 + \beta \, e_2) = \alpha
+\beta = 0 \end{array} \right| \; \; \alpha = 1 \, , \, \beta
= - 1

y análogamente:

f(v2)=0→(2x1+x2)(α′e1+β′e2)=2α+β=0g(v2)=1→(x1+x2)(α′e1+β′e2)=α′+β′=1∣∣∣∣α′=−1,β′=2\left. \begin{array}{l} f (v_2) = 0 \rightarrow (2x_1 + x_2)(
\alpha' \, e_1 + \beta' \, e_2) = 2\alpha + \beta = 0 \\ \\ g(v_2)= 1 \rightarrow (x_1 + x_2)( \alpha' \, e_1 + \beta' \, e_2) =
\alpha' + \beta' = 1 \end{array} \right| \; \; \alpha' = -1 \,
, \, \beta' = 2

con lo que tendremos: v1=(1,−1);v2=(−1,2) v_1 = (1, -1) \; ; \; v_2 = (-1, 2) .







Enunciado 3


Sea la aplicación t :t:R3→R2t \; : \; R_3 \rightarrow R_2
definida en bases canónicas por :

núcleo (t)≡x1+x2=0;t(1,0,1)=(1,1)(t) \equiv x_1 + x_2 = 0 \; \; ; \; \; t(1,
0, 1) = (1, 1)

Obtener la matriz de la aplicación t en bases canónicas.

RESPUESTA
DEL EJERCICIO 3...