DOMINIO RANGO

MATEMATICA I
FACULTAD DE INGENIERÍA

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
DEFINICIÓN. Una función real de variable real es una regla de correspondencia que asocia a cada
número real x de un conjunto D  R un único número real f (x) llamado imagen de x bajo f .
Una función se denota como:

f :D RR
x

 f ( x)

OBSERVACIONES:
Al número real x del dominio de la función se le llama variableindependiente, mientras que a la
imagen correspondiente y  f (x) se le llama variable dependiente.
Ejemplos:
1. y  x  2

5. y  x3  5 x

2. y  1  x 2

6. y  senx  cos 3x

3. f ( x) 

7. f ( x)  ee  5x  1

x2  5x  4
x 1
 x  2,
4. f ( x)  
x 1
 x  3,

 x,
9,

8. f ( x)  

x5
x5

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION:
-

El dominio de una función es el conjunto denotado por:

D f  x  R/ f ( x) esté definido 
-

Al conjunto formado por las imágenes f (x) de las x del dominio se le llama rango de la
función:

R f  y  R / y  f ( x), x  D f 

¿CÓMO OBTENER EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN?
Dada la función f : D f  R  R , recordemos que el dominio de una función son aquellos valores
que toma la variable independiente, en este caso x , para los cuáles la expresión y  f (x) existaOBSERVACIONES:

1

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1. Si f (x) es un polinomio, el dominio de la función será todos los reales, es decir: D f  R .
2. Si f (x) es un cociente, éste no existe si el denominador se hace cero, por lo que se deben
eliminar del dominio aquellos valores en donde esto sucede
3. Si f (x) es una raíz cuadrada, éste existirá sólo si el radicando es mayor o igual quecero.
4. Si f (x) es un logaritmo natural, éste existirá si su argumento es mayor que cero.
5. Si f (x) es una función definida por partes, el dominio de la función será la unión de todos
los subdominios.
Ejemplos:
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
1.

y  x2
2. f ( x)  x3  5x 2  4 x  8

2x  5
x  3x  2
7. f ( x)  ln(5  x)
x 1
 x  2,
8. f ( x)  
x3
 x  3,

3. f ( x) x2  5x  4
x5
 x,
4. f ( x)  
x5
9,
x
5. f ( x) 
x 1

6. f ( x) 

2

9. f ( x) 

x4

10. f ( x)  ln( x 2  2 x  8)

¿CÓMO OBTENER EL RANGO DE UNA FUNCIÓN?
Para obtener el rango de la función, despejamos la variable independiente x en función de y , luego
analizamos los valores que pueda tomar y de tal forma que x exista.
Ejemplos:
Hallar el rango de las siguientes funciones:
1. f ( x) x  3
2. f ( x)  x  1
2

3. f ( x) 

x 4
1
4. f ( x) 
x7

5. f ( x) 

x2
x
6. f ( x) 
x 1

7. f ( x) 

2x2  2
x2  1

 x2
8. f ( x)  ln 

 x  4
9. y  x 2  1
10. y  ln( x  3)

VALOR NUMERICO DE UNA FUNCION
Para determinar el valor numérico de una función y  f (x) remplazamos el valor de la variable
independiente x en la regla de correspondencia.
Ejemplo:
I.- Calcular elvalor numérico de las siguientes funciones, para los valores de x dados:
1.

f ( x)  x 3  5 x 2  4 x  8 ,

x  1

2.

f ( x)  x  2  x  1 ,

x2

2

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3.

f ( x)  sen2 x  cos x ,

4.

f ( x)  e  5 x  x  8 ,

5.

f ( x)  7 ,

3x

x



3
x0

4

x   15

II.- Dada la función: f ( x) 

x 1
, hallar:
x
1
x
d. f ( x  h)

a. f (h)

c. f ( )

b. f( x  h)

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
(Criterio de la Recta Vertical)
La función f es una función real de variable real, si y sólo si, toda recta vertical corta a la gráfica
de la función f a lo más en un punto.

Ejemplos:

y
(a)

(b)

y

x

(c)

x

y

y

(d)

x

x

3

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(e)

(f)

y

y

º
x

x

De las seis figuras que semuestran, (a) y (b) no son funciones, mientras que (c), (d), (e), (f) si lo
son.

FUNCIONES ESPECIALES
1. Función Constante. Definida por:

f : IR  IR
x  f ( x)  c,

 x  D f , c  cons tan te

En este caso:

D f  IR y R f  IR
Su gráfica es:
y

f ( x)  c

c
x
2. Función Identidad. Definida por:

f : IR  IR
x  f ( x)  x,

xR

En este caso:

D f  IR y R f  IR
Su gráfica es:
y
y=x
x

4...